作业帮如何构造累差迭加特殊数列在数列an中,a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)/2的n次方（I）设bn=an/n ,求数列 bn的通项公式（II）求数列 an的前n 项和 sn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 08:19:03
如何构造累差迭加特殊数列在数列an中,a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)/2的n次方（I）设bn=an/n ,求数列 bn的通项公式（II）求数列 an的前n 项和 sn
如何构造累差迭加特殊数列
在数列an中,a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)/2的n次方
（I）设bn=an/n ,求数列 bn的通项公式
（II）求数列 an的前n 项和 sn
如何构造累差迭加特殊数列在数列an中,a1=1,an+1=(1+1/n)an+(n+1)/2的n次方（I）设bn=an/n ,求数列 bn的通项公式（II）求数列 an的前n 项和 sn
a(n+1)=(1+1/n)an+(n+1)/2^n
bn=an/n,an=nbn
(n+1)b(n+1)=(1+1/n)nbn+(n+1)/2^n
b(n+1)=bn+1/2^n=bn+（1/2)^n
bn=b(n-1)+)(1/2)^(n-1)
.
bz=b1+(1/2)^1
相加的：bn=b1+(1/2)^(1)+.+(1/2)^(n-1),b1=a1/1=1
bn=1+(1/2)^(1)+.+(1/2)^(n-1)=(1/2)^0+(1/2)^(1)+.+(1/2)^(n-1)
bn=(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=2(1-(1/2)^n)=2(1-1/(2)^n)=2-1/2^(n-1)
an=2n-n/2^(n-1),
其实这题第一题目已经告诉你怎么做了，他不是说让你先求bn吗，所以由条件bn=an/n => an=n*bn,a[n+1]=(n+1)*b[n+1]
代入到递推关系中，可以得到：b[n+1]=b[n]+1/2^n，这样不就简单了吗？
解出b[n],当求出了b[n]，再代到an=n*bn，这样a[n]也求出来了。
因此第二题也好解决了。
事实上这里也可以分析一下第一题为...
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其实这题第一题目已经告诉你怎么做了，他不是说让你先求bn吗，所以由条件bn=an/n => an=n*bn,a[n+1]=(n+1)*b[n+1]
代入到递推关系中，可以得到：b[n+1]=b[n]+1/2^n，这样不就简单了吗？
解出b[n],当求出了b[n]，再代到an=n*bn，这样a[n]也求出来了。
因此第二题也好解决了。
事实上这里也可以分析一下第一题为什么题目要提示你设bn=an/n，因为如果将原递推关系两边同时除以(n+1)的话，就会得到：
a[n+1]/(n+1)=a[n]/n+1/2^n
是不是，如果设bn=an/n，这样就是一个很简单的基本类型了。
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