作业帮一道数学题（代数）已知实数a,b,c满足a²+b²=1,b²+c²=2,c²+a²=2,则ab+bc+ca的最小值为_______?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 08:26:47
一道数学题（代数）已知实数a,b,c满足a²+b²=1,b²+c²=2,c²+a²=2,则ab+bc+ca的最小值为_______?
一道数学题（代数）
已知实数a,b,c满足a²+b²=1,b²+c²=2,c²+a²=2,则ab+bc+ca的最小值为_______?
一道数学题（代数）已知实数a,b,c满足a²+b²=1,b²+c²=2,c²+a²=2,则ab+bc+ca的最小值为_______?
a²+b²=1,b²+c²=2,c²+a²=2
相加除以2
a²+b²+c²=5/2
所以c²=3/2
a²=1/2
b²=1/2
a=±√2/2
b=±√2/2
c=±√6/2
若都取正或都取负,则ab+bc+ca>0
所以应有正有负
这个只能通过实验了
所以
a=b=√2/2,c=-√6/2
或a=b=-√2/2,c=√6/2
ab+bc+ca最小=(1/2)-√3
由均值定理得 a²+b²=1≥2ab，b²+c²=2≥2bc，c²+a²=2≥2ac (当且仅当a=b=c是取等号)
ab+bc+ca
=(2ab+2bc+2ca)/2≤5/2 所以最小值就是5/4了
当且仅当a=b=c是取得最小值
（a+b)^2≥0
a^2+2ab+b^2≥0
1+2ab≥0
2ab≥-1
ab≥-1/2
（b+c)^2≥0
b^2+2bc+c^2≥0
2+2bc≥0
2bc≥-2
bc≥-1
同理可得，ac≥-1
ab+bc+ca≥-1/2-1-1=-5/2
所以ab+bc+ca的最小值为-5/2
abc都能解 b²+c²=2，c²+a²=2 a²=b² a²+b²=1 a=±√2/2 b=±√2/2
c==±√6/2 ab+bc+ca的最小值=√2/2*√2/2-√6/2*√2=0.5-1.732=-1.232
解答如下
-5/2
(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2>或=0
所以a²+b²+b²+c²c²+a²+2ab+2bc+2ca最小为0
所以ab+bc+ca的最小值为-5 /2