【高一数学】已知正整数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足2√Sn=an+1求数列{an}的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 21:39:16
【高一数学】已知正整数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足2√Sn=an+1求数列{an}的通项公式

【高一数学】已知正整数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足2√Sn=an+1求数列{an}的通项公式
【高一数学】已知正整数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足2√Sn=an+1
求数列{an}的通项公式

【高一数学】已知正整数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的正整数n满足2√Sn=an+1求数列{an}的通项公式

由2√Sn=an+1
令n=1,得
2√S1=2√a1=a1+1
解得a1=1

2√Sn=an+1
两边平方,得
4Sn=(an+1)^2
当n≥2时,
4S(n-1)=[a(n-1)+1]^2
两式相减,得
4Sn-4S(n-1)=(an+1)^2-[a(n-1)+1]^2
即4an=(an)^2+2an+1-[a(n-1)+1]^2
0=(an-1)^2-[a(n-1)+1]^2
[(an-1)+a(n-1)+1]•[(an-1)-[a(n-1)+1]]=0
∵数列{an}为正数数列
∴(an-1)-[a(n-1)+1]=0
即an-a(n-1)=2
∴数列{an}是以首项a1=1,公差d=2的等差数列
故an=1+(n-1)•2=2n-1

2√Sn=an+1
所以4Sn=(an+1)^2=an^2+2an+1
4S(n-1)=a(n-1)^2+2a(n-1)+1
相减4an=(an^2+2an+1)-[a(n-1)^2+2a(n-1)+1]
整理(an-1)^2=[a(n-1)+1]^2
开方an-1=a(n-1)+1 因为an>=1
2√a1=a1+1
所以a1=1
所以为正奇数列an=2n-1

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