作业帮关于三角形的内接圆PA,PB分别切圆O于A、B两点,PO交圆O于C,求证：C是三角形PAB的内心
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 20:33:28
关于三角形的内接圆PA,PB分别切圆O于A、B两点,PO交圆O于C,求证：C是三角形PAB的内心
关于三角形的内接圆
PA,PB分别切圆O于A、B两点,PO交圆O于C,求证：C是三角形PAB的内心
关于三角形的内接圆PA,PB分别切圆O于A、B两点,PO交圆O于C,求证：C是三角形PAB的内心
证明：连接AO、BO、AC、BC ,
∵ PA、PB是⊙O的切线 ,
∴ C在∠APB的角平分线PC上 ；
∵PA,PB是⊙O的切线
∴∠PAC=∠ABC,PO⊥AB
∴弧AC=弧BC
∴ ∠CAB=∠CBA=∠AOC/2=∠BOC/2 ,
∵ 根据弦切角定理,得出∠PAC=∠AOC/2 ,
∴ ∠PAC=∠CAB ,
∴ C在∠PAB的角平分线AC上 ；
同理 ,C在∠PBA的角平分线BC上 ；
综上所述 C点均在三角形PAB中∠APB、∠PAB、∠PBA三个角的三条角平分线上
∴ C是三角形PAB的内心 .
回答完毕.
连接AC和BC
PA、PB切圆O于A、B两点
PA=PB AC=BC
OP平分∠ APB
∠PAC=∠ABC
∠ABC=∠BAC
∠PAC=∠BAC
C 是角平分线的交点
连接AO、BO、AC、BC ，
∵ PA、PB是⊙O的切线 ，
∴ C在∠APB的角平分线PC上 ；
∴ 弧AC=弧BC ，AC=BC ，
∴ ∠CAB=∠CBA=∠AOC/2=∠BOC/2 ，
∵ ∠PAC=∠AOC/2 ，
∴ ∠PAC=∠CAB ，
∴ C在∠PAB的角平分线AC上 ；
同理 ，C在∠PBA的角平分线...
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连接AO、BO、AC、BC ，
∵ PA、PB是⊙O的切线 ，
∴ C在∠APB的角平分线PC上 ；
∴ 弧AC=弧BC ，AC=BC ，
∴ ∠CAB=∠CBA=∠AOC/2=∠BOC/2 ，
∵ ∠PAC=∠AOC/2 ，
∴ ∠PAC=∠CAB ，
∴ C在∠PAB的角平分线AC上 ；
同理 ，C在∠PBA的角平分线BC上 ；
∴ C是三角形PAB的内心 。
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证明：连AC ，如图。∠1是弦切角， ∴∠1＝AC弧度数的一半。∠2对的是BC弧， ∴∠2＝BC弧度数的一半。又AC弧＝BC弧， ∴∠1＝∠2 ，即AC是△PAB的角分线。 PA,PB分别切圆O于A、B两点，∴PO平分∠APB， 两个角的角平分线交点是C，所以，C是三角形PAB的内心。
证明：
连接AC，BC
∵PA，PB是⊙O的切线
∴∠PAC=∠ABC，PO⊥AB
∴弧AC=弧BC
∠CAB=∠CBA
∴∠PAC=∠BAC
同理∠PBC=∠ABC
∴C是△PAB的内心