53题 53题 正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F.如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF(如图1答题者画一道题只能有一个图)（1）如图2,若点P与在线段AO上（不

53题 53题 正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F.如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF(如图1答题者画一道题只能有一个图)（1）如图2,若点P与在线段AO上（不
53题
53题 正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F.如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF(如图1答题者画一道题只能有一个图)
（1）如图2,若点P与在线段AO上（不与点A、O重合）PE⊥PB且PE交CD于点E.
第一、求证：DF=EF
第二、写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你得结论：
（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重回）,PE⊥PB且PE交直线CD于点E,请完成图3并判断（1）中的结论第一、第二是否分别成立?若不成立,写出相应的结论（所写结论均不必证明）
答对者多谢,30分以上.

53题 53题 正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F.如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF(如图1答题者画一道题只能有一个图)（1）如图2,若点P与在线段AO上（不
（1）
第一
连接PD
根据正方形性质
根据∠BAP=∠DAP=45°,AB=AD,AP是公共边
很容易证明△ABP≌△ADB(SAS)
所以,∠PDA=∠PBA
所以,∠PBC=∠PDC
由PF‖BC得知
∠PBC+∠BPF=180°,其中∠BPE=90°
即∠PBC+∠EPF=90°
再由∠FDP+∠FPD=90°(直角三角形,其中∠PDC=PDF)
可得∠EPF=∠FDP
所以Rt△DPF≌Rt△EPF
所以DF=EF
第二
PC-PA=CE√2
下面来证明它
设正方形的边长为a,设CE=x,过P作PG⊥AD于G
那么很显然,
PG=DF=CD-CE-EF=(CD-CE)/2=(a-x)/2
CF=EF+CE=(a+x)/2
根据勾股定理
PC=CF√2
PA=PG√2
PC-PA=(CF-PG)√2=x√2=CE√2
(2)
第一的结论成立
第二的结论在形式上成立,但由于此时PA>PC,所以此时的结论为
PA-PC==CE√2
搞完!

你看图吧！

第一
连接PD
根据正方形性质
根据∠BAP=∠DAP=45°,AB=AD,AP是公共边
很容易证明△ABP≌△ADB(SAS)
所以，∠PDA=∠PBA
所以，∠PBC=∠PDC
由PF‖BC得知
∠PBC+∠BPF=180°，其中∠BPE=90°
即∠PBC+∠EPF=90°
再由∠FDP+∠F...

全部展开

第一
连接PD
根据正方形性质
根据∠BAP=∠DAP=45°,AB=AD,AP是公共边
很容易证明△ABP≌△ADB(SAS)
所以，∠PDA=∠PBA
所以，∠PBC=∠PDC
由PF‖BC得知
∠PBC+∠BPF=180°，其中∠BPE=90°
即∠PBC+∠EPF=90°
再由∠FDP+∠FPD=90°(直角三角形，其中∠PDC=PDF)
可得∠EPF=∠FDP
所以Rt△DPF≌Rt△EPF
所以DF=EF
第二
PC-PA=CE√2
下面来证明它
设正方形的边长为a,设CE=x，过P作PG⊥AD于G
那么很显然，
PG=DF=CD-CE-EF=(CD-CE)/2=(a-x)/2
CF=EF+CE=(a+x)/2
根据勾股定理
PC=CF√2
PA=PG√2
PC-PA=(CF-PG)√2=x√2=CE√2
第一的结论成立
第二的结论在形式上成立，但由于此时PA>PC，所以此时的结论为
PA-PC==CE√2

收起

第一
连接PD
根据正方形性质
根据∠BAP=∠DAP=45°,AB=AD,AP是公共边
很容易证明△ABP≌△ADB(SAS)
所以，∠PDA=∠PBA
所以，∠PBC=∠PDC
由PF‖BC得知
∠PBC+∠BPF=180°，其中∠BPE=90°
即∠PBC+∠EPF=90°
再由∠FDP+∠F...

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第一
连接PD
根据正方形性质
根据∠BAP=∠DAP=45°,AB=AD,AP是公共边
很容易证明△ABP≌△ADB(SAS)
所以，∠PDA=∠PBA
所以，∠PBC=∠PDC
由PF‖BC得知
∠PBC+∠BPF=180°，其中∠BPE=90°
即∠PBC+∠EPF=90°
再由∠FDP+∠FPD=90°(直角三角形，其中∠PDC=PDF)
可得∠EPF=∠FDP
所以Rt△DPF≌Rt△EPF
所以DF=EF
第二
PC-PA=CE√2
下面来证明它
设正方形的边长为a,设CE=x，过P作PG⊥AD于G
那么很显然，
PG=DF=CD-CE-EF=(CD-CE)/2=(a-x)/2
CF=EF+CE=(a+x)/2
根据勾股定理
PC=CF√2
PA=PG√2
PC-PA=(CF-PG)√2=x√2=CE√2
PA-PC==CE√2

收起