高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x).

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 21:55:17

高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x).
高数证明题-涉及可导性与连续性
已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x).

高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x).
F(x)在x=0处可导,那么lim(x→0)(F(x)-F(0))/(x-0)=lim(x→0)F(x)/x=F'(0)
那么定义G(x)= F(x)/x x不等于0
F‘(0) x=0
那么G(x)有定义
且lim(x→0)G(x)=lim(x→0)F(x)/x=F'(0)=G(0)
所以G(x)在x=0处连续,满足题意

只需要证明下面的G(x)在0处连续
x!=0时，G(x)=F(x)/x,
x=0时，G(x)=F'(0)
证明如下：
Lim(x->0)G(x)=LimF(x)/x
根据罗比达法则有，LimF(x)/x=LimF'(x)/1=F‘(0)
所以Lim(x->0)G(x)=F‘(0) ，也就是G(x)在0点的极限等于自身的函数值，所以G(x)在0处连续。

定义：G(x)=F(x)/x，x≠0，G(0)=F'(0)
因为：lim（G(x))=lim F(x)/x=lim(F(x))-F(0))/(x-0)=F'(0)=G(0)
所以G在0处连续，且F(x)=xG(x)

高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x). 高数证明连续性和可导性, 高数连续性的证明题高数证明题-连续性已知 f 在R上连续,当x属于有理数,f (X) = 0.证明：f (x) 在R上都为0 一道高数的证明题（连续性余可导性）y=|sinx|在X＝0处的连续性与可导性函数的连续性,高数证明高数函数连续性题高数连续性可导性讨论函数f（x）=sinx,x＜0,x,x≥0 在点x=0处的连续性与可到性. 高数,证明一函数的可导性,连续性我证出来了,可导性怎么证明? 高数证明题目涉及中值定理高数函数连续性第五题高数,函数连续性高数函数连续性高数:连续性问题. 概率论与数理统计,有点涉及高数, 讨论函数在=0处的连续性与可导性大一高数证明连续性和可导性大一高数函数的连续性与间断点问题