如图,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分AD.交BC延长线于E,求证：DE²=BE*CE如题

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 21:10:46

如图,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分AD.交BC延长线于E,求证：DE²=BE*CE如题
如图,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分AD.交BC延长线于E,求证：DE²=BE*CE
如题

如图,AD是△ABC的角平分线,EF垂直平分AD.交BC延长线于E,求证：DE²=BE*CE如题
∵EG⊥AD,AG＝DG,∴AE＝DE,∠AEH＝∠BEF,∠EAG＝∠EDG.
∵∠BAD＝∠CAD,∴∠EDG＝∠B＋∠BAD＝∠B＋∠CAD.
由∠EAG＝∠EDG,∠EDG＝∠B＋∠CAD,∠EAG＝∠EAH＋∠CAD,得：∠EAH＝∠B
由∠EAH＝∠B,∠AEH＝∠BEF,得：△AHE∽△BFE,∴AE/BE＝EH/EF.
由EG⊥AD,AG＝DG,得：AF＝DF,∴∠ADF＝∠BAD.
由∠ADF＝∠BAD,∠BAD＝∠CAD,得：∠ADF＝∠CAD,∴CA∥DF,∴CE/DE＝EH/EF.
由AE/BE＝EH/EF,CE/DE＝EH/EF,得：AE/BE＝CE/DE,结合AE＝DE,得：DE/BE＝CE/DE
即：DE^2＝BE×CE.

连接AE

连接AE，∵EG⊥AD，G为AD中点
∴AE＝DE，∠DAE=∠DAE,
又∵∠B+∠BAD=∠ADE=∠DAE=∠DAC+∠CAE
AD平分∠BAC,得∠BAD=∠DAC
∴∠B=∠CAE 又∠AEC=∠BEC
∵ △AEC∽△BEA ∵AE/EC=BE/EA
即DE^2=AE^2=BE*CE

楼主你好
没有图，根据我的猜想画了图，如果E、F的位置确实如图所示，则
连结CE和DE，CE交AD于G点
∵AD为角平分线
∴∠CAD=∠EAD
又∵AC=AE，AG=AG
∴根据三角形全等判定的SAS定理，得
△GAC≌△GAE
∴∠AGC=∠AGE=90°，GC=GE
即AD垂直平分线段CE
则DC=DE
...

全部展开

楼主你好
没有图，根据我的猜想画了图，如果E、F的位置确实如图所示，则
连结CE和DE，CE交AD于G点
∵AD为角平分线
∴∠CAD=∠EAD
又∵AC=AE，AG=AG
∴根据三角形全等判定的SAS定理，得
△GAC≌△GAE
∴∠AGC=∠AGE=90°，GC=GE
即AD垂直平分线段CE
则DC=DE
∴∠DCG=∠DEC
∵EF‖BC
∴∠DCG=∠FEC
∴∠FEC=∠DEC
得证
附图如下

收起