作业帮(09北大)圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求四边形ABCD的外接圆的半径
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 14:17:02
(09北大)圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求四边形ABCD的外接圆的半径
(09北大)圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求四边形ABCD的外接圆的半径
(09北大)圆内接四边形ABCD,AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,求四边形ABCD的外接圆的半径
余弦定理：三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边
则cosA=(b²+c²-a²)/2bc
或cosB=(a²+c²-b²)/2ac
或cosC=(a²+b²-c²)/2ab
正弦定理：三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边
则a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是△ABC外接圆半径）
一个四边形只知道四边长,是不固定的.但当他是圆内接四边形时,形状就固定了.因为圆内接四边形对角互补.
即 ∠B+∠D=180°,或∠A+∠C=180°
所以 cosB+cosD=0,或cosA+cosC=0
连接AC,设AC=x
△ABC中,cosB=(1²+2²-x²)/(2×1×2)=(5-x²)/4
△ADC中,cosD=(3²+4²-x²)/(2×3×4)=(25-x²)/24
(5-x²)/4+(25-x²)/24=0
30-6x²+25-x²=0
x²=55/7
x=(√385)/7（负值已舍）
所以cosB=(5-x²)/4=-5/7
因为 sin²B+cos²B=1
所以 sinB=(2√6)/7
四边形ABCD的内接圆 即△ABC的内接圆
所以 △ABC中,2R=AC/sinB=【(√385)/7】/【(2√6)/7】=(√2310)/12
所以 R=(√2310)/24
所以四边形ABCD的外接圆的半径 (√2310)/24
【计算较繁,可能算错,所以还请楼主自己验算一下,麻烦您了】
【希望对你有帮助】