如图,Rt△ABC中,∠A=90°,点O在AC上,圆O切BC于点E,A在圆O上,若AB=5,AC=12,求圆O 的半径

如图,Rt△ABC中,∠A=90°,点O在AC上,圆O切BC于点E,A在圆O上,若AB=5,AC=12,求圆O 的半径
如图,Rt△ABC中,∠A=90°,点O在AC上,圆O切BC于点E,A在圆O上,若AB=5,AC=12,求圆O 的半径

如图,Rt△ABC中,∠A=90°,点O在AC上,圆O切BC于点E,A在圆O上,若AB=5,AC=12,求圆O 的半径
∵∠A=90°即OA⊥AC
圆O切BC于点E,
∴AB=BE=5(圆外到圆两边的切线相等）
∵AB=5,BC=12
∴BC=13
∵OE²+CE²=OC²
OE=OA
CE=BC-BE=13-5=8
∴在RT△COE中,勾股定理
OE²+8²=(12-OA)²
即OE²+8²=12²-24OE+OE²
OE=80/24=10/3

连OE、连OF。
∵ AE、AF 均与圆O相切，
∴ OE ⊥ AB 且 OF ⊥ AC （圆的切线垂直于过切点的半径）
∴ ∠OEA = ∠OFA = 90°
连OA，在 Rt△OEA 和 Rt△OFA 中，OE = OF， OA= OA
∴ Rt△OEA ≌ Rt△OFA （HL）
∴ ∠OAE = ∠OAF
∴ AO平分∠BAC。

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连OE、连OF。
∵ AE、AF 均与圆O相切，
∴ OE ⊥ AB 且 OF ⊥ AC （圆的切线垂直于过切点的半径）
∴ ∠OEA = ∠OFA = 90°
连OA，在 Rt△OEA 和 Rt△OFA 中，OE = OF， OA= OA
∴ Rt△OEA ≌ Rt△OFA （HL）
∴ ∠OAE = ∠OAF
∴ AO平分∠BAC。
由等腰三角形（AB=AC=a）顶角平分线平分底边得：O为BC的中点。
而由相切知 OE⊥AB，
又∵AC⊥AB
∴OE‖AC
又∵O为BC的中点
∴OE是等腰Rt△ABC的中位线。
∴ OE = （1/2）× AC
= a/2。
即圆o的半径为 a/2。
注：本题牵涉到的知识点较多，相应解法也五彩缤纷，
如：先由勾股定理求出BC = √2 a，
再由AO平分∠BAC 以及 “直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半” 得出AO=(√2 a)/2
进而在Rt△EAO中，
由sin∠EAO=OE/AO 得：OE = AO × sin∠EAO
= (√2 a)/2 × sin45°
= (√2 a)/2 × √2 /2
= a/2
还可以由AO平分∠BAC 得：∠BAO = 45°
又 ∵ AB=AC ∴∠B = ∠C = 45°
∴ △AOB 是等腰Rt△
而圆O与AB相切于点E
∴ OE ⊥ AB 且 OE平分AB
∴ OE = （1/2）× AB （直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）
= a/2。

收起

1，条件AB=5,AC=12, 是让你求解∠C的度数的
2，知道∠C后，可以知道∠COE的度数（360°-90°-∠C）
3，知道∠COE的度数后，就可以知道∠AOE (180°-∠COE）
4，连接OB ，由于OA=OE,且分别⊥∠B的两边，可以判定OB是∠B的平分线，可以判定也是∠
AOE的平分线，
5，在△AOB中，由于∠AOB=1/2∠ ...

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1，条件AB=5,AC=12, 是让你求解∠C的度数的
2，知道∠C后，可以知道∠COE的度数（360°-90°-∠C）
3，知道∠COE的度数后，就可以知道∠AOE (180°-∠COE）
4，连接OB ，由于OA=OE,且分别⊥∠B的两边，可以判定OB是∠B的平分线，可以判定也是∠
AOE的平分线，
5，在△AOB中，由于∠AOB=1/2∠ AOE，在利用余切三角公式，一边，一角，可以算出OA的长度，及圆半径
学习平面几何，主要是要有想象力，此外辅助线很重要，你可以用铅笔先画，不行擦掉在画，就有可能找到途径

收起

在Rt△ABC中，因为∠A=90°，AB=5，AC=12，所以由勾股定理得BC=13.。因为AB⊥AC，OA是圆的半径，所以AB是圆的切线，BC是圆的切线，所以AB=BE=5，且OE垂直BC于E。所以△COF∽△CBA，所以OE/AB=OC/BC.即OE/5=（12-OE）/13，解得OE=60/18=10/3.。即圆的半径为10/3.。