如图,在RT△ABC中,∠A=90°,AB=AC=a,圆O分别与AB,AC相切于点E,F,圆心O在BC上,求圆o的半径

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 01:35:39

如图,在RT△ABC中,∠A=90°,AB=AC=a,圆O分别与AB,AC相切于点E,F,圆心O在BC上,求圆o的半径
如图,在RT△ABC中,∠A=90°,AB=AC=a,圆O分别与AB,AC相切于点E,F,圆心O在BC上,求圆o的半径

如图,在RT△ABC中,∠A=90°,AB=AC=a,圆O分别与AB,AC相切于点E,F,圆心O在BC上,求圆o的半径
连OE、连OF.
∵ AE、AF 均与圆O相切,
∴ OE ⊥ AB 且 OF ⊥ AC （圆的切线垂直于过切点的半径）
∴ ∠OEA = ∠OFA = 90°
连OA,在 Rt△OEA 和 Rt△OFA 中,OE = OF,OA= OA
∴ Rt△OEA ≌ Rt△OFA （HL）
∴ ∠OAE = ∠OAF
∴ AO平分∠BAC.
由等腰三角形（AB=AC=a）顶角平分线平分底边得：O为BC的中点.
而由相切知 OE⊥AB,
又∵AC⊥AB
∴OE‖AC
又∵O为BC的中点
∴OE是等腰Rt△ABC的中位线.
∴ OE = （1/2）× AC
= a/2.
即圆o的半径为 a/2.
注：本题牵涉到的知识点较多,相应解法也五彩缤纷,
如：先由勾股定理求出BC = √2 a,
再由AO平分∠BAC 以及 “直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半” 得出AO=(√2 a)/2
进而在Rt△EAO中,
由sin∠EAO=OE/AO 得：OE = AO × sin∠EAO
= (√2 a)/2 × sin45°
= (√2 a)/2 × √2 /2
= a/2
还可以由AO平分∠BAC 得：∠BAO = 45°
又 ∵ AB=AC ∴∠B = ∠C = 45°
∴ △AOB 是等腰Rt△
而圆O与AB相切于点E
∴ OE ⊥ AB 且 OE平分AB
∴ OE = （1/2）× AB （直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）
= a/2.
解完题后请您注意体会、总结、反思,达到以后一见题就有思路.
平时做题注意快速形成卷面,那么,学习效率必将提高.

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