（线代证明）已知α1,α2,α3线性无关,α4可由α1,α2,α3线性表出,且表出系数全不为零.证明：α1,α2已知α1,α2,α3线性无关,α4可由α1,α2,α3线性表出,且表出系数全不为零.证明：α1,α2,α3,α4中任意

（线代证明）已知α1,α2,α3线性无关,α4可由α1,α2,α3线性表出,且表出系数全不为零.证明：α1,α2已知α1,α2,α3线性无关,α4可由α1,α2,α3线性表出,且表出系数全不为零.证明：α1,α2,α3,α4中任意
（线代证明）已知α1,α2,α3线性无关,α4可由α1,α2,α3线性表出,且表出系数全不为零.证明：α1,α2
已知α1,α2,α3线性无关,α4可由α1,α2,α3线性表出,且表出系数全不为零.证明：α1,α2,α3,α4中任意三个向量均线性无关.
注意是全不为零,而不是全部为零···
= =望详细解答······

（线代证明）已知α1,α2,α3线性无关,α4可由α1,α2,α3线性表出,且表出系数全不为零.证明：α1,α2已知α1,α2,α3线性无关,α4可由α1,α2,α3线性表出,且表出系数全不为零.证明：α1,α2,α3,α4中任意
α4=k1α1+k2α2+k3α3
任意三个向量
case 1:α1,α2,α3
α1,α2,α3线性无关 ( given )
case 2:α1,α2,α4
m1α1+m2α2+m3α4=0
m1α1+m2α2+m3(k1α1+k2α2+k3α3)=0
(m1+m3k1)α1+(m2+m3k2)α2+(m3k3)α3=0
=>
m1+m3k1=0 (1)
m2+m3k2=0 (2)
m3k3=0 (3)
from (3)
m3=0
from (2),(3) => m2=0
from (1),(3) => m1=0
=> α1,α2,α4线性无关
case 3:α1,α3,α4
similar as case2
m1'α1+m2'α3+m3'α4=0
=>m1'=m2'=m3'=0
=> α1,α3,α4线性无关
case 4:α2,α3,α4
similar as case2
m1''α2+m2''α3+m3''α4=0
=>m1''=m2''=m3''=0
=> α2,α3,α4线性无关

α1，α2，α3，线性无关显然成立
现在不妨证
α4，α2，α3，线性无关
假设α4，α2，α3线性相关，因为
α2，α3线性无关，所以
α4能由α2，α3线性表示，且唯一表示
不妨设
α4=k1α2+k2α3
显然
α4=0*α1+k1α2+k2α3
又因为α4可由α1,α2,α3线性表出，且表出系数全不为零

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α1，α2，α3，线性无关显然成立
现在不妨证
α4，α2，α3，线性无关
假设α4，α2，α3线性相关，因为
α2，α3线性无关，所以
α4能由α2，α3线性表示，且唯一表示
不妨设
α4=k1α2+k2α3
显然
α4=0*α1+k1α2+k2α3
又因为α4可由α1,α2,α3线性表出，且表出系数全不为零
所以
矛盾，即假设不成立
从而
α4，α2，α3线性无关
同理可证其它的也线性无关。

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1, α1,α2,α3线性无关
2 α1,α2,α3任意2个线性无关，不妨取α1,α2，
再添加α4=Xα1+Yα2+Zα3【α4可由α1,α2,α3线性表出】

向量组 {α1,α2,α4}={α1,α2，Xα1+Yα2+Zα3} 和向量组{α1,α2,α3}等价，同时线性无关。

①显然，α1,α2,α3线性无关。
②现证α1,α2,α4线性无关：
因为α4可由α1,α2,α3线性表出，且表出系数全不为零，即α4=k1α1+k2α2+k3α3, 且k1k2k3≠0.
又已知α1,α2,α3线性无关，
即不存在不全为零的实数使得α1,α2,α3的线性代数和为0，-----注意-----线性无关的定义
故mα1+nα2+kα4=(kk1+...

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①显然，α1,α2,α3线性无关。
②现证α1,α2,α4线性无关：
因为α4可由α1,α2,α3线性表出，且表出系数全不为零，即α4=k1α1+k2α2+k3α3, 且k1k2k3≠0.
又已知α1,α2,α3线性无关，
即不存在不全为零的实数使得α1,α2,α3的线性代数和为0，-----注意-----线性无关的定义
故mα1+nα2+kα4=(kk1+m)α1+(kk2+n)α2+kk3α3≠0 -----注意-----将α4=k1α1+k2α2+k3α3代入
即不存在m, n, k不全为零使得α1,α2,α4线性代数和为0 -----注意-----线性无关的定义
所以α1,α2,α4线性无关。
③同理可证α1,α3,α4线性无关，α2,α3,α4线性无关。
综上，α1，α2，α3，α4中任意三个向量均线性无关。
此题也可用反证法。

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