作业帮如题：设L是由曲线y^3=x^2与直线y=x连接起来的正向闭曲线,计算 (x^2)ydx+y^2dy的曲线积分(积分符号打不出来就不打了,是让算第二类曲线积分,有方向的那种)有几个问题：---------------------------------
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 14:11:05
如题：设L是由曲线y^3=x^2与直线y=x连接起来的正向闭曲线,计算 (x^2)ydx+y^2dy的曲线积分(积分符号打不出来就不打了,是让算第二类曲线积分,有方向的那种)有几个问题：---------------------------------
如题：设L是由曲线y^3=x^2与直线y=x连接起来的正向闭曲线,计算 (x^2)ydx+y^2dy的曲线积分(积分符号打不出来就不打了,是让算第二类曲线积分,有方向的那种)
有几个问题：
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1：题中问题是让求(x^2)ydx+y^2dy的曲线积分
可不可以这样理解:
曲线y^3=x^2与直线y=x处于一个F=(x^2y,y^2)的一个向量场中(因为P=(x^2)y,Q=y^2)
即
F=(x^2)yi+y^2j=(x^2)y+y^2(其中i,j为单位向量,你懂的)
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2：函数F=(x^2)y+y^2与曲线y^3=x^2与直线y=x有什么关系呢?没有这个函数而想求曲线积分的话,是不是就是第一类曲线积分呢?
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3：如果我把函数F换成别的函数,举个例子:x^3y+x^3y^3,是不是结果就会改变呢?(因为物理上来讲,是放在了不同的向量场里,做的功是不一样的)
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4:第一类曲线积分是不是第二类曲线积分在保守场里面的特殊情况呢?(因为我看老外都没有第一类曲线积分和第二类曲线积分的概念),如果是那么我会有这么一个矛盾的结论:如果在保守场下,单连通区域的第一类曲线积分结果为0,这是怎么回事?
如题：设L是由曲线y^3=x^2与直线y=x连接起来的正向闭曲线,计算 (x^2)ydx+y^2dy的曲线积分(积分符号打不出来就不打了,是让算第二类曲线积分,有方向的那种)有几个问题：---------------------------------
设C是由曲线y³=x²与直线y=x连接起来的正向闭曲线,计算 ∮x²ydx+y²dy的曲线积分
C：y=x^(2/3),y=x；区域D：由曲线C所围的区域；P=x²y,Q=y²；∂Q/∂x=0,∂P/∂y=x²；
故∮x²ydx+y²dy=(D)∫∫(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy=(D)∫∫(-x²)dxdy=[0,1]-∫x²dx[x,x^(2/3)]∫dy
=[0,1]-∫x²dx(y)︱[x,x^(2/3)]=[0,1]-∫x²[x^(2/3)-x]dx=[0,1]∫[x³-x^(5/2)]dx
=[x⁴/4-(2/7)x^(7/2)]︱[0,1]=1/4-2/7=-1/28