F(x)=∫(x,0)(x-2t)e^(-t^2) 证明:F(x)是偶函数；F(x)在x>0是增函数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 23:12:56

F(x)=∫(x,0)(x-2t)e^(-t^2) 证明:F(x)是偶函数；F(x)在x>0是增函数
F(x)=∫(x,0)(x-2t)e^(-t^2) 证明:F(x)是偶函数；F(x)在x>0是增函数

F(x)=∫(x,0)(x-2t)e^(-t^2) 证明:F(x)是偶函数；F(x)在x>0是增函数
F(x) = ∫[0,x] (x﹣2t) e^(﹣t²) dt 变上限定积分
= x ∫[0,x] e^(﹣t²) dt ﹣ ∫[0,x] 2t e^(﹣t²) dt
1.F(﹣x) = ﹣x ∫[0,﹣x] e^(﹣t²) dt ﹣ ∫[0,﹣x] 2t e^(﹣t²) dt 在积分中令 u = ﹣x
= ﹣x ∫[0,x] e^(﹣u²) (-1)du ﹣ ∫[0,x] 2(﹣u) e^(﹣u²) (-1)du
= x ∫[0,x] e^(﹣u²) du ﹣ ∫[0,x] 2u e^(﹣u²) du
= F(x)
∴ F(x)是偶函数
2.当 x > 0,
F '(x) = ∫[0,x] e^(﹣t²) dt + x e^(﹣x²) ﹣ 2x e^(﹣x²)
= ∫[0,x] e^(﹣t²) dt ﹣ x e^(﹣x²)
= x [ e^(﹣ξ²) ﹣ e^(﹣x²) ] 积分中值定理,0 < ξ < x
> 0
∴ F(x)在x>0是增函数.

全部展开

F(-x)=∫(-x,0)(1x-2t)e^(-t^2)dt，令t=-y代入得：
F(-x)=∫(-x,0)(1x-2t)e^(-t^2)dt=∫(x,0)(x-2y)e^(-y^2)dy=F(x)，所以F(x)是偶函数。
又：F(x)=x∫e^(-t^2) dt-∫2te^(-t^2) dt，所以：
F'(x)=∫e^(-t^2) dt+xe^(-x^2)-2xe^(-x^2)=∫e^(-t^2) dt-xe^(-x^2)
=xe^(-y^2) dt-xe^(-x^2) (用积分中值定理) （0《y《x)
》0
所以：F(x)在x>0是增函数

收起

f(x)=x^2+∫[0~x]e^（x-t)f '(t)dt 怎么变到 f '(x)=2x+f '(x)+∫[0~x]e^（x-t)f '(t)dt 设二阶可维函数f(x)满足方程[0,x]∫(x+1-t)f'(t)dt=e^x+x^2-f(x),求f(x) ∫[0,x]f(x-t)tdt=e^x-x-1,求f(x) F(x)=∫(x,0)(x-2t)e^(-t^2) 证明:F(x)是偶函数；F(x)在x>0是增函数 F(x)=∫(x,0)(x-2t)e^(-t^2) 证明:F(x)是偶函数；F(x)在x>0是增函数设dy/dx∫(0,e^-x)f(t)dt=e^x,f(x)=? ∫(0,x)f(t-x)dt=e^(-x²)+1 求f(x)急. 设连续函数f(x)满足f(x)=e^x-∫(0,x)f(t)dt,求f(x) 函数f(x)=e^x-e^-x,当实数t取何值时,f(x-t)+f(x^2-t^2)≥0满足一切x f(x)=e^x+∫(x,0) t f(t) dt - x ∫(x,o) f(t) dt,求f(x) 已知连续函数 f(x)满足f(x)=∫[3x,0] f( t/3)dt+e^2x,求f(x) 设f(x)为连续函数,且符合关系f(x)=e^x-∫(0,x)(x-t)f(t)dt,求函数f(x) 设f(X)连续且满足 f(x)=e^x+sinx- ∫ x 0 (x-t)f(t)dt,并求该函数f(x)RT 设f(x)连续,且满足f(x)=e^x+∫x上0下（t-x）f（t）dt 求f（x） f(x)=x+2*x*∫(0到x) f(t)dt 求f(x) 设f(x)是连续函数,且满足∫[0,x]f(x-t)dt=e^(-2x)-1,求定积分∫[0,1]f(x)dx 设f(x)=∫(1,x^2) e^(-t)/t dt,求∫(0,1)xf（x）dt 设f(x)=∫【x,1】((e)^(-t^2)）dt,求∫【1,0】f(x）dx