求∫sqrt(1+sin(x)^2)dx 区间为 0 到 pie/2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 07:18:46

求∫sqrt(1+sin(x)^2)dx 区间为 0 到 pie/2
求∫sqrt(1+sin(x)^2)dx 区间为 0 到 pie/2

求∫sqrt(1+sin(x)^2)dx 区间为 0 到 pie/2
∫sqrt(1+sin(x)^2)dx这个积分无法表示为初等函数.

最近学了椭圆积分，对这题有用处了。
由于范围是由0到π/2，所以这是完全椭圆积分。
∫(0->π/2) √(1+sin²x)
= ∫(0->π/2) √[1+(1-cos²x)] dx
= ∫(0->π/2) √(2-cos²x) dx
令x = π/2 - y，dx = - dy
当x = 0，y = π/2；当x =...

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最近学了椭圆积分，对这题有用处了。
由于范围是由0到π/2，所以这是完全椭圆积分。
∫(0->π/2) √(1+sin²x)
= ∫(0->π/2) √[1+(1-cos²x)] dx
= ∫(0->π/2) √(2-cos²x) dx
令x = π/2 - y，dx = - dy
当x = 0，y = π/2；当x = π/2，y = 0
原积分= -∫(π/2->0) √[2-(cos(π/2-y))²] dy
= ∫(0->π/2) √(2-sin²y) dy
= ∫(0->π/2) √[2(1-1/2*sin²y)] dy
= √2 * ∫(0->π/2) √(1-1/2*sin²y) dy
= √2 * E(1/√2)
≈1.75
这个是第二类完全椭圆积分，一般来说都是属于超越函数(无法用初等函数表示)
一般计算到这类的积分时候多数都在计算弧长吧？
如果估计没错，你应该是在计算y = cosx在0到π/2之间的弧长。

收起

求∫sqrt(1+sin(x)^2)dx 区间为 0 到 pie/2 求∫1/(x*sqrt(1-x^2))dx 求数学积分∫sqrt(1-x^2)*arcsinx dx 求积分 ∫sqrt(3x*x-2)dx=? 求[1/sqrt(x-x^2)]dx的积分求积分∫arctan(sqrt x)/((sqrt x)(1+x))dx, ∫x / sqrt（2-3x^2) dx 求∫x / sqrt（2-3x^2) dx 不定积分求积分 ∫((x^2)/sqrt(x^2+x+1))dx 不定积分 x*sqrt(x+x^2) dx求不定积分 x*sqrt(x+x^2) dx 求数学积分∫[ln(x+sqrt(1+x^2))]^2 dx 求数学积分∫(x^3*arccosx)/(sqrt(1-x^2)) dx lim x->0(sqrt(sin(1/x^2)) 求极限 ∫sqrt(4-4*sin^2(x)) dx 范围[2pi/3,0] 求∫1／tan^2x+sin^2x dx ∫1-sin2x/sin^2x-x dx求不定积分求∫ sin^2 x/2 dx .. 求不定积分：∫sin(x^2)dx 求不定积分∫sin(x/2)dx