作业帮一道数学竞赛题,我想了很久了,都没有好方法,尤其是第二问简直不知如何下手?（1）在一个圆上任意选取三点,试求这三点构成的三角形包含圆心的概率.（2）推广：在一个球上,任意选取四个
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 15:07:33
一道数学竞赛题,我想了很久了,都没有好方法,尤其是第二问简直不知如何下手?（1）在一个圆上任意选取三点,试求这三点构成的三角形包含圆心的概率.（2）推广：在一个球上,任意选取四个
一道数学竞赛题,我想了很久了,都没有好方法,尤其是第二问简直不知如何下手?
（1）在一个圆上任意选取三点,试求这三点构成的三角形包含圆心的概率.
（2）推广：在一个球上,任意选取四个点,那么求如果球的球心在这四个点围成的四面体内部的概率?
一道数学竞赛题,我想了很久了,都没有好方法,尤其是第二问简直不知如何下手?（1）在一个圆上任意选取三点,试求这三点构成的三角形包含圆心的概率.（2）推广：在一个球上,任意选取四个
（2）球面有点难,算了一下,好麻烦,后来一不小心百度到答案了.
方法一：
因为是均匀分布,所以取到每个点的概率密度与取到其对径点的概率密度是一样的.每个点都有一个对径点,这样便有n对点.在每对点中各取一点,共有2^n中取法,每种取法的概率密度是相同的.现在只要计算这2^n 种取法中,有多少种取法[记为F(n)]是落在同一半球上的,则所求概率为F(n)/2^n .
上面有个假设,即认为F(n)的值只与n有关,而跟n个点的具体位置无关.这个是可以证明的（忽略两点重合,三点共大圆的零概率情况）.而且,还可以证明,F(n)等于球面上n个大圆（任意两个大圆不重合,任意三个大圆不共点）把球面分割成小片的片数.这个数目等于
n^2 - n + 2.于是所求概率等于 (n^2-n+2) /2^n .
按照此公式得出的概率是7/8
方法二：
一：任意取两点A和B,这两点和圆心O确定一个平面,不妨叫做赤道面,它和球面相交的圆即是赤道,赤道面将球面分为南北两个半球.
则另外两个点C和D在同一个半球（同在南半球或者同在北半球）的概率是1/2,反之:C和D分居两个半球的概率是1/2.
如果是前一种情况,那么A B C D肯定同半球,概率是1/2；
如果是后一种情况,我们就不能确定四个点是否同半球,还要分情况讨论.
二：如果C和D分居两个半球,C的圆心对称点（过C点和圆心O的直线在另一个半球的交点）记作C',D的圆心对称点记作D',那么连接C' D'的最短弧（C' D'和圆心O确定的平面同球面相交的圆上,连接C' D'的那段较小的弧）同赤道肯定相交,交点记为P.根据题设,可以证明下面几个结论：
1：交点P在赤道上是均匀分布的；
2：如果P落在连接A B的最短弧上,那么A B C D不同半球；反之,如果P落在连接A B的最长弧上,那么A B C D同半球；——注意：连接A B的最短弧和最长弧组成了赤道.
3：交点P落在A B的最短弧上的概率是1/4：反之落在最长弧上的概率是3/4.——注意这里是总的概率,也就是A B和P点都随机均匀分布在赤道上,P点落在A B最短弧上的概率.
补充：第三个结论和这样的命题是等价的,即在圆环上任取三点,这三点同半圆的概率是3/4,因为这里也可以根据其中一点的圆心对称点是否落在连接另两点的最短弧上来判定三点是否同半圆.
于是在C D分居两个半球的情形下,A B C D同半球的概率是3/4.
故：A B C D同半球的最终概率是：1/2＋(1/2)*(3/4)=7/8.