作业帮已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N+,且n>=2),a4=81（1）求数列的前三项a1,a2,a3；（2）数列{(an+p)/2^n}为等差数列,求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项和Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 06:40:25
已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N+,且n>=2),a4=81（1）求数列的前三项a1,a2,a3；（2）数列{(an+p)/2^n}为等差数列,求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项和Sn
已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N+,且n>=2),a4=81
（1）求数列的前三项a1,a2,a3；
（2）数列{(an+p)/2^n}为等差数列,求实数p的值；
（3）求数列{an}的前n项和Sn
已知数列{an}满足an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N+,且n>=2),a4=81（1）求数列的前三项a1,a2,a3；（2）数列{(an+p)/2^n}为等差数列,求实数p的值；（3）求数列{an}的前n项和Sn
an=2a(n-1)+2^n-1
an/2^n=a(n-1)/2^(n-1) +1-1/2^n
an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1-1/2^n
a2/2^2-a1/2=1-1/2^2
a3/2^3-a2/2^2=1-1/2^3
...
an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1-1/2^n
左右两边分别相加：
an/2^n-a1/2=(n-1)-[1/2^2+..+1/2^n]
an/2^n=a1/2+(n-1)-1/2^2*[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)
=a1/2+(n-1)-(1/2-1/2^n)
=a1/2+n-3/2+1/2^n
a1=5 (a4求a3-a2-a1,
an=(n+1)*2^n+1
Sn=a1+a2+..+an=n+2^1+2^2+..+2^n+1*2^1+2*2^2+..+n*2^n
=n+2*(1-2^n)/(1-2)+1*2^1+2*2^2+..+n*2^n
bn=1*2^1+2*2^2+..+n*2^n
2bn=1*2^2+.+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
相减：
-bn=2+2^2+.+2^n-n*2^(n+1)
=2*(1-2^n)/(1-2)-n*2^(n+1)
bn=-2*(1-2^n)/(1-2)+n*2^(n+1)
Sn=n+n*2^(n+1)