作业帮如图,AB是○O的直径,AB=4,OC是○O的半径,OC⊥AB,点D在弧AC上,弧AD=2弧CD,若点P是半径OC上的一个动点,则则AP+PD的最小值是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 09:49:51
如图,AB是○O的直径,AB=4,OC是○O的半径,OC⊥AB,点D在弧AC上,弧AD=2弧CD,若点P是半径OC上的一个动点,则则AP+PD的最小值是
如图,AB是○O的直径,AB=4,OC是○O的半径,OC⊥AB,点D在弧AC上,弧AD=2弧CD,若点P是半径OC上的一个动点,则
则AP+PD的最小值是
如图,AB是○O的直径,AB=4,OC是○O的半径,OC⊥AB,点D在弧AC上,弧AD=2弧CD,若点P是半径OC上的一个动点,则则AP+PD的最小值是
设 OP = x,则 0≤x≤2
由勾股定理：
AP^2=OA^2 + OP^2 = 4+x^2
由于弧AD=2弧CD,所以 ∠COD=30度
在三角形OPD中,由余弦定理得
PD^2 = OP^2 + OD^2 - 2*OP*OD*cos30 =x^2 + 4 -2√3*x
所以 令 f(x) = AP+PD = √(4+x^2)+√(x^2 + 4 -2√3*x)
2x 2x - 2√3
f(x)得导数 = (-1/2)--------------------- + (- 1/2 )-----------------------------
√(4+x^2) √(x^2 + 4 -2√3*x)
令f(x)的导数为0,解得
x = 4√3/3 >2(舍去) 或者 x= 4√3/9
所以AP+PD的最小值 = √(4+x^2)+√(x^2 + 4 -2√3*x) = (√63 + √39)*2/9
【中学数理化解答团】
同时 √3-2
连接AD、OD,连接PD交OC与点P，连接AP。
∵弧AD=2弧CD
∴ ∠ AOD=2/3 ∠AOC=2/3 × 90°＝60°
又∵弧AD=弧AD
∴ 1/2∠ AOD=∠ ABD＝30°
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中：
AB=2
AD=1/2AB=1
DB=√3
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连接AD、OD,连接PD交OC与点P，连接AP。
∵弧AD=2弧CD
∴ ∠ AOD=2/3 ∠AOC=2/3 × 90°＝60°
又∵弧AD=弧AD
∴ 1/2∠ AOD=∠ ABD＝30°
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中：
AB=2
AD=1/2AB=1
DB=√3
即PA+PD=BP+PD=BD=√3
（做这种求最小值的题先做一个点的对称点，然后与另一个点连接，根据垂直平分线上的点到两边的距离相等即可证得。）
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