作业帮梯形ABCD中,对角线AC与BD垂直,上底AD=3,下底BC=7,问梯形面积最大值是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:20:01
梯形ABCD中,对角线AC与BD垂直,上底AD=3,下底BC=7,问梯形面积最大值是多少?
梯形ABCD中,对角线AC与BD垂直,上底AD=3,下底BC=7,问梯形面积最大值是多少?
梯形ABCD中,对角线AC与BD垂直,上底AD=3,下底BC=7,问梯形面积最大值是多少?
作DE∥AC,交BC的延长线于点E
则四边形ACED是平行四边形
∴CE=AD=3,AC=DE,BE=7+3=10
∵AC⊥BD
∴DE⊥BD
∴S△ABD=S△CDE
∴S梯形ABCD=S△BDE
设AC=a,DE=b
则a²+b²=10²=100
∴S梯形ABCD=1/2ab=1/4(2ab)≤1/4(a²+b²)=1/4*100=25
即梯形ABCD的最大值为25
设AC、BD交于O，并设AO=a，OD=b。
因为 AD//BC ，则Rt△AOD∽Rt△COB ，
因此 OB=7/3*b，OC=7/3*a 。
因为 a^2+b^2=9 ，且 a^2+b^2>=2ab ，因此 ab<=9/2 。
所以
S梯形=SAOD+SAOD+SBOC+SCOD
=1/2*(ab+7/3*ab+49/9*ab+7/3*ab)...
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设AC、BD交于O，并设AO=a，OD=b。
因为 AD//BC ，则Rt△AOD∽Rt△COB ，
因此 OB=7/3*b，OC=7/3*a 。
因为 a^2+b^2=9 ，且 a^2+b^2>=2ab ，因此 ab<=9/2 。
所以
S梯形=SAOD+SAOD+SBOC+SCOD
=1/2*(ab+7/3*ab+49/9*ab+7/3*ab)
=50/9*ab
<=50/9*9/2
=25 ，
因此，梯形面积最大值为 25 。（当a=b=√3时取最大）赞同
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过D作DE∥AC交BC的延长线于E则ADEC是平行四边形，CE=AD=3， 那么BE=BC+CE=10，且BD⊥DE，△DBC是直角三角形， 其斜边为定长，直角顶点在以BE为直径的半圆上。 作梯形ABCD的高AH，则AH也是△DBE的高， 那么ABCD的面积=（BC+AD）*AH/2=(BC+CE)*AH/2= BE*AH/2=△DBE的面积=10AH/2=5AH。 显然，当△DBE的面积最大时，即AH获最大值时，梯形ABCD面积最大， 这时AH=半径=5，梯形的面积=5AH=25。