数学的历史进程

数学的历史进程
数学的历史进程

数学的历史进程
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现代数学时期
现代数学时期是指由19世纪20年代至今,这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式,数和量仅仅是它的极特殊的情形,通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形.抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分.它们是大学数学专业的课程,非数学专业也要具备其中某些知识.变量数学时期新兴起的许多学科,蓬勃地向前发展,内容和方法不断地充实、扩大和深入.
18、19世纪之交,数学已经达到丰沛茂密的境地,似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽,再没有多大的发展余地了.然而,这只是暴风雨前夕的宁静.19世纪20年代,数学革命的狂飙终于来临了,数学开始了一连串本质的变化,从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期.
19世纪前半叶,数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数.
大约在1826年,人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何.这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的.非欧几何的出现,改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点.它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路,而且是20世纪相对论产生的前奏和准备.
后来证明,非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义,因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质.从这个意义上说,为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者.
1854年,黎曼推广了空间的概念,开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学.非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨,研究可以作为基础的概念和原则,分析公理的完全性、相容性和独立性等问题.1899年,希尔伯特对此作了重大贡献.
在1843年,哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数.不可交换代数的出现,改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点.它的革命思想打开了近代代数的大门.
另一方面,由于一元方程根式求解条件的探究,引进了群的概念.19世纪20～30年代,阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学的研究.近代代数是相对古典代数来说的,古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的.群论之后,多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立.这时,代数学的研究对象扩大为向量、矩阵,等等,并渐渐转向代数系统结构本身的研究.
上述两大事件和它们引起的发展,被称为几何学的解放和代数学的解放.
19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化.1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子,要求人们对分析基础作更深刻的理解.他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想,实数系本身最先应该严格化,然后分析的所有概念应该由此数系导出.他和后继者们使这个设想基本上得以实现,使今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来.
现代数学家们的研究,远远超出了把实数系作为分析基础的设想.欧几里得几何通过其分析的解释,也可以放在实数系中；如果欧氏几何是相容的,则几何的多数分支是相容的.实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性.事实上,可以说：如果实数系是相容的,则现存的全部数学也是相容的.
19世纪后期,由于狄德金、康托和皮亚诺的工作,这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上.即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出.20世纪初期,证明了自然数可用集合论概念来定义,因而各种数学能以集合论为基础来讲述.
拓扑学开始是几何学的一个分支,但是直到20世纪的第二个1/4世纪,它才得到了推广.拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究.科学家们认识到：任何事物的集合,不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合,都能在某种意义上构成拓扑空间.拓扑学的概念和理论,已经成功地应用于电磁学和物理学的研究.
20世纪有许多数学著作曾致力于仔细考查数学的逻辑基础和结构,这反过来导致公理学的产生,即对于公设集合及其性质的研究.许多数学概念经受了重大的变革和推广,并且像集合论、近世代数学和拓扑学这样深奥的基础学科也得到广泛发展.一般(或抽象)集合论导致的一些意义深远而困扰人们的悖论,迫切需要得到处理.逻辑本身作为在数学上以承认的前提去得出结论的工具,被认真地检查,从而产生了数理逻辑.逻辑与哲学的多种关系,导致数学哲学的各种不同学派的出现.
20世纪40～50年代,世界科学史上发生了三件惊天动地的大事,即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起.此外还出现了许多新的情况,促使数学发生急剧的变化.这些情况是：现代科学技术研究的对象,日益超出人类的感官范围以外,向高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化发展.以长度单位为例、小到1尘(毫微微米,即10^-15米),大到100万秒差距(325.8万光年).这些测量和研究都不能依赖于感官的直接经验,越来越多地要依靠理论计算的指导.其次是科学实验的规模空前扩大,一个大型的实验,要耗费大量的人力和物力.为了减少浪费和避免盲目性,迫切需要精确的理论分机和设计.再次是现代科学技术日益趋向定量化,各个科学技术领域,都需要使用数学工具.数学几乎渗透到所有的科学部门中去,从而形成了许多边缘数学学科,例如生物数学、生物统计学、数理生物学、数理语言学等等.
上述情况使得数学发展呈现出一些比较明显的特点,可以简单地归纳为三个方面：计算机科学的形成,应用数学出现众多的新分支、纯粹数学有若干重大的突破.
1945年,第一台电子计算机诞生以后,由于电子计算机应用广泛、影响巨大,围绕它很自然要形成一门庞大的科学.粗略地说,计算机科学是对计算机体系、软件和某些特殊应用进行探索和理论研究的一门科学.计算数学可以归入计算机科学之中,但它也可以算是一门应用数学.
计算机的设计与制造的大部分工作,通常是计算机工程或电子工程的事.软件是指解题的程序、程序语言、编制程序的方法等.研究软件需要使用数理逻辑、代数、数理语言学、组合理论、图论、计算方法等很多的数学工具.目前电子计算机的应用已达数千种,还有不断增加的趋势.但只有某些特殊应用才归入计算机科学之中,例如机器翻译、人工智能、机器证明、图形识别、图象处理等.
应用数学和纯粹数学(或基础理论)从来就没有严格的界限.大体上说,纯粹数学是数学的这一部分,它暂时不考虑对其它知识领域或生产实践上的直接应用,它间接地推动有关学科的发展或者在若干年后才发现其直接应用；而应用数学,可以说是纯粹数学与科学技术之间的桥梁.
20世纪40年代以后,涌现出了大量新的应用数学科目,内容的丰富、应用的广泛、名目的繁多都是史无前例的.例如对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、系统分析、可靠性理论等.这些分支所研究的范围和互相间的关系很难划清,也有的因为用了很多概率统计的工具,又可以看作概率统计的新应用或新分支,还有的可以归入计算机科学之中等等.
20世纪40年代以后,基础理论也有了飞速的发展,出现许多突破性的工作,解决了一些带根本性质的问题.在这过程中引入了新的概念、新的方法,推动了整个数学前进.例如,希尔伯特1990年在国际教学家大会上提出的尚待解决的23个问题中,有些问题得到了解决.60年代以来,还出现了如非标准分析、模糊数学、突变理论等新兴的数学分支.此外,近几十年来经典数学也获得了巨大进展,如概率论、数理统计、解析数论、微分几何、代数几何、微分方程、因数论、泛函分析、数理逻辑等等.
当代数学的研究成果,有了几乎爆炸性的增长.刊载数学论文的杂志,在17世纪末以前,只有17种(最初的出于1665年)；18世纪有210种；19世纪有950种.20世纪的统计数字更为增长.在本世纪初,每年发表的数学论文不过1000篇；到1960年,美国《数学评论》发表的论文摘要是7824篇,到1973年为20410篇,1979年已达52812篇,文献呈指数式增长之势.数学的三大特点—高度抽象性、应用广泛性、体系严谨性,更加明显地表露出来.
今天,差不多每个国家都有自己的数学学会,而且许多国家还有致力于各种水平的数学教育的团体.它们已经成为推动数学发展的有力因素之一.目前数学还有加速发展的趋势,这是过去任何一个时期所不能比拟的.
现代数学虽然呈现出多姿多彩的局面,但是它的主要特点可以概括如下：(1)数学的对象、内容在深度和广度上都有了很大的发展,分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了惊人的变化,数学的不断分化,不断综合的趋势都在加强.(2)电子计算机进入数学领域,产生巨大而深远的影响.(3)数学渗透到几乎所有的科学领域,并且起着越来越大的作用,纯粹数学不断向纵深发展,数理逻辑和数学基础已经成为整个数学大厦基础.
以上简要地介绍了数学在古代、近代、现代三个大的发展时期的情况.如果把数学研究比喻为研究“飞”,那么第一个时期主要研究飞鸟的几张相片(静止、常量)；第二个时期主要研究飞鸟的几部电影(运动、变量)；第三个时期主要研究飞鸟、飞机、飞船等等的所具有的一般性质(抽象、集合).
这是一个由简单到复杂、由具体到抽象、由低级向高级、由特殊到一般的发展过程.如果从几何学的范畴来看,那么欧氏几何学、解析几何学和非欧几何学就可以作为数学三大发展时期的有代表性的成果；而欧几里得、笛卡儿和罗巴契夫斯基更是可以作为各时期的代表人物.
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1（前3500-前500）数学起源与早期发展： 古埃及数学、美索不达米亚（古巴比伦）数学
2（前600-5世纪）古代希腊数学：论证数学的发端、欧式几何
3（3世纪-14世纪）中世纪的中国数学、印度数学、阿拉伯数学：实用数学的辉煌
4（12世纪-17世纪）近代数学的兴起：代数学的发展、解析几何的诞生
5（14世纪-18世纪）微积分的建立：牛顿与莱布尼茨的微积分建立

全部展开

1（前3500-前500）数学起源与早期发展： 古埃及数学、美索不达米亚（古巴比伦）数学
2（前600-5世纪）古代希腊数学：论证数学的发端、欧式几何
3（3世纪-14世纪）中世纪的中国数学、印度数学、阿拉伯数学：实用数学的辉煌
4（12世纪-17世纪）近代数学的兴起：代数学的发展、解析几何的诞生
5（14世纪-18世纪）微积分的建立：牛顿与莱布尼茨的微积分建立
6（18世纪-19世纪）分析时代：微积分的各领域应用
7（19世纪）代数的新生：抽象代数产生（近世代数）
8（19世纪）几何学的变革：非欧几何
9（19世纪）分析的严密化：微积分的基础的严密化
10二十世纪的纯粹数学的趋势
11二十一世纪应用数学的天下
中国 数学的历史进程
中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、数、几何和三角各方而都十分发达。现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。
(一)属于算术方面的材料
大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”
和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。
现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。
古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。
小数的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如13.56作1356 。在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。
宋朝杨辉所著的书中(公元1274年)有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一)。杨辉还用“连身加”这名词来说明201—300以内的质数。
(二)属于代数方面的材料
从“九章算术”卷八说明方程以后，在数值代数的领域内中国一直保持了光辉的成就。
“九章算术”方程章首先解释正负术是确切不移的，正象我们现在学习初等代数时从正负数的四则运算学起一样，负数的出现便丰富了数的内容。
我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种。一元二次方程是借用几何图形而得到证明。 不定方程的出现在二千多年前的中国是一个值得重视的课题，这比我们现在所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年。具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答(可惜原解法失传了)，不难想象王孝通得到这种解法时的愉快程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金。
十一世纪的贾宪已发明了和霍纳(1786—1837)方法相同的数字方程解法，我们也不能忘记十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的伟大贡献。
在世界数学史上对方程的原始记载有着不同的形式，但比较起来不得不推中国天元术的简洁明了。四元术是天元术发展的必然产物。
级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数。十四世纪初中国元代朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录。十一世纪时代，中国已有完备的二项式系数表，并且还有这表的编制方法。
历史文献揭示出在计算中有名的盈不足术是由中国传往欧洲的。
内插法的计算，中国可上溯到六世纪的刘焯，并且七世纪末的僧一行有不等间距的内插法计算。
十四世纪以前，属于代数方面许多问题的研究，中国是先进国家之一。
就是到十八，九世纪由李锐(1773—1817)，汪莱(1768—1813)到李善兰(1811—1882)，他们在这一方面的研究上也都发表了很多的名著。
(三)属于几何方面的材料
自明朝后期(十六世纪)欧几里得“几何原本”中文译本一部分出版之前，中国的几何早已在独立发展着。应该重视古代的许多工艺品以及建筑工程、水利工程上的成就，其中蕴藏了丰富的几何知识。
中国的几何有悠久的历史，可靠的记录从公元前十五世纪谈起，甲骨文内己有规和矩二个字，规是用来画圆的，矩是用来画方的。
汉代石刻中矩的形状类似现在的直角三角形，大约在公元前二世纪左右，中国已记载了有名的勾股定理(勾股二个字的起源比较迟)。
圆和方的研究在古代中国几何发展中占了重要位置。墨子对圆的定义是：“圆，一中同长也。”—个中心到圆周相等的叫圆，这解释要比欧几里得还早一百多年。
在圆周率的计算上有刘歆(？一23)、张衡(78—139)、刘徽(263)、王蕃(219—257)、祖冲之(429—500)、赵友钦(公元十三世纪)等人，其中刘徽、祖冲之、赵友钦的方法和所得的结果举世闻名。
祖冲之所得的结果π=355/133要比欧洲早一千多年。
在刘徽的“九章算术”注中曾多次显露出他对极限概念的天才。 在平面几何中用直角三角形或正方形和在立体几何中用锥体和长方柱体进行移补，这构成中国古代几何的特点。
中国数学家善于把代数上的成就运用到几何上，而又用几何图形来证明代数，数值代数和直观几何有机的配合起来，在实践中获得良好的效果．
正好说明十八、九世纪中国数学家对割圆连比例的研究和项名达(1789—1850)用割圆连比例求出椭圆周长。这都是继承古代方法加以发挥而得到的(当然吸收外来数学的精华也是必要的)。
(四)属于三角方面的材料
三角学的发生由于测量，首先是天文学的发展而产生了球面三角，中国古代天文学很发达，因为要决定恒星的位置很早就有了球面测量的知识；平面测量术在“周牌算经”内已记载若用矩来测量高深远近。
刘徽的割圆术以半径为单位长求圆内正六边形，十二二边形等的每一边长，这答数是和2sinA的值相符(A是圆心角的一半)，以后公元十二世纪赵友钦用圆内正四边形起算也同此理，我们可以从刘徽、赵友钦的计算中得出7.5o、15o、22.5o、30o、45o等的正弦函数值。
在古代历法中有计算二十四个节气的日晷影长，地面上直立一个八尺长的“表”，太阳光对这“表”在地面上的射影由于地球公转而每一个节气的影长都不同，这些影长和“八尺之表”的比，构成一个余切函数表(不过当时还没有这个名称)。
十世纪的中国天文学家郭守敬(1231—1316)曾发现了球面三角上的三个公式。 现在我们所用三角函数名词：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，这都是我国十六世纪已有的名称，那时再加正矢和余矢二个函数叫做八线。
在十七世纪后期中国数学家梅文鼎(1633—1721)已编了一本平面三角和一本球面三角的书，平面三角的书名叫“平三角举要”，包含下列内容：(1)三角函数的定义；(2)解直角三角形和斜三角形；(3)三角形求积，三角形内容圆和容方；(4)测量。这已经和现代平面三角的内容相差不远，梅文鼎还著书讲到三角上有名的积化和差公式。十八世纪以后，中国还出版了不少三角学方面的书籍。
据《易·系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。
算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
用算筹记数，有纵、横两种方式： 　 　　　
表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间﹝法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当﹞，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。
在几何学方面《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。
战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：「圆，一中同长也」、「平，同高也」等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如「至大无外谓之大一，至小无内谓之小一」、「一尺之棰，日取其半，万世不竭」等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。
此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。 　
二、中国数学体系的形成与奠基
这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成时期，为使不断丰富的数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。
现传中国历史最早的数学专著是1984年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简《算数书》，与其同时出土的一本汉简历谱所记乃吕后二年（公元前186年），所以该书的成书年代至晚是公元前186年（应该在此前）。
西汉末年﹝公元前一世纪﹞编纂的《周髀算经》，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有较复杂的开方问题和分数运算等。
《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年﹝公元前一世纪﹞。全书采用问题集的形式编写，共收集了246个问题及其解法，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面，《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则，在世界数学史上都是最早的记载；书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说，它注重应用，注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系，对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进了世界数学的发展。
魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽（生卒年代不详）和刘徽（生卒年代不详）的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。三国吴人赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释,在《勾股圆方图注》中用几何方法严格证明了勾股定理，他的方法已体现了割补原理的思想。赵爽还提出了用几何方法求解二次方程的新方法。263年，三国魏人刘徽注释《九章算术》，在《九章算术注》中不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，系统地阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理，而且在其论述中多有创造，在卷1《方田》中创立割圆术（即用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的办法），为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法，他运用“割圆术”得出圆周率的近似值为3927/1250（即3.1416）；在《商功》章中，为解决球体积公式的问题而构造了“牟合方盖”的几何模型，为祖暅获得正确结果开辟了道路；为建立多面体体积理论，运用极限方法成功地证明了阳马术；他还撰著《海岛算经》，发扬了古代勾股测量术----重差术。
南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态，但数学的发展依然蓬勃。出现了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学著作。约于公元四-五世纪成书的《孙子算经》给出「物不知数」问题并作了解答，导致求解一次同余组问题在中国的滥畅；《张丘建算经》的「百鸡问题」引出三个未知数的不定方程组问题。
公元五世纪，祖冲之、祖暅父子的工作在这一时期最具代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其著作《缀术》已失传，根据史料记载，他们在数学上主要有三项成就：(1)计算圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113，其中密率是分子分母在1000以内的最佳值，欧洲直到十六世纪德国人鄂图（valentinus otto）和荷兰人安托尼兹（a.anthonisz)才得出同样结果；(2)祖暅在刘徽工作的基础上推导出球体体积的正确公式，并提出"幂势既同则积不容异"的体积原理，即二立体等高处截面积均相等则二体体积相等的定理。欧洲十七世纪意大利数学家卡瓦列利（bonaventura cavalieri）才提出同一定理；(3)发展了二次与三次方程的解法。
同时代的天文历学家何承天创调日法，以有理分数逼近实数，发展了古代的不定分析与数值逼近算法。
三、中国数学教育制度的建立
隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通撰《缉古算经》，主要是通过土木工程中计算土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖计算等实际问题，讨论如何以几何方式建立三次多项式方程，发展了《九章算术》中的少广、勾股章中开方理论。
隋唐时期是中国封建官僚制度建立时期，随着科举制度与国子监制度的确立，数学教育有了长足的发展。656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》﹝包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》﹞，作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。
由于南北朝时期的一些重大天文发现在隋唐之交开始落实到历法编算中，使唐代历法中出现一些重要的数学成果。公元600年，隋代刘焯在制订《皇极历》时，在世界上最早提出了等间距二次内插公式，这在数学史上是一项杰出的创造，唐代僧一行在其《大衍历》中将其发展为不等间距二次内插公式。
唐朝后期，计算技术有了进一步的改进和普及，出现很多种实用算书，对于乘除算法力求简捷。
四、中国数学发展的高峰
唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪﹝宋、元两代﹞，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》﹝11世纪中叶﹞，刘益的《议古根源》﹝12世纪中叶﹞，秦九韶的《数书九章》﹝1247﹞，李冶的《测圆海镜》﹝1248﹞和《益古演段》﹝1259﹞，杨辉的《详解九章算法》﹝1261﹞、《日用算法》﹝1262﹞和《杨辉算法》﹝1274-1275﹞，朱世杰的《算学启蒙》﹝1299﹞和《四元玉鉴》﹝1303﹞等等。 宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有：
公元1050年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，公元1819年英国人霍纳（william george horner）才得出同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”。（《黄帝九章算法细草》已佚）
公元1088—1095年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。沈括还提出“会圆术”，得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运筹思想分析和研究了后勤供与运兵进退的关系等问题。
公元1247年，南宋秦九韶在《数书九章》中推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法。秦九韶还系统地研究了一次同余式理论。
公元1248年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《测圆海镜》是第一部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，这在数学史上是一项杰出的成果。在《测圆海镜?序》中，李冶批判了轻视科学实践，以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论。
公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。
公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（etienne bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（james gregory)和公元1676一1678年间牛顿（issac newton）才提出内插法的一般公式。
公元十四世纪我国人民已使用珠算盘。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具。
五、中国数学的衰落与日用数学的发展
这一时期指十四世纪中叶明王朝建立到明末的1582年。数学除珠算外出现全面衰弱的局面，当中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问，不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。
明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，及至程大位的《直指算法统宗》﹝1592﹞问世，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。
六、西方初等数学的传入与中西合璧
十六世纪末开始，西方传教士开始到中国活动，由于明清王朝制定天文历法的需要，传教士开始将与天文历算有关的西方初等数学知识传入中国，中国数学家在“西学中源”思想支配下，数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。
十六世纪末，西方传教士和中国学者合译了许多西方数学专着。其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷﹝1607﹞，其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。徐光启本人撰写的《测量异同》和《勾股义》便应用了《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。此外，《几何原本》课本中绝大部份的名词都是首创，且沿用至今。在输入的西方数学中仅次于几何的是三角学。在此之前，三角学只有零星的知识，而此后获得迅速发展。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》﹝2卷，1631﹞、《割圆八线表》﹝6卷﹞和罗雅谷的《测量全义》﹝10卷，1631﹞。在徐光启主持编译的《崇祯历书》﹝137卷，1629-1633﹞中，介绍了有关圆椎曲线的数学知识。
入清以后，会通中西数学的杰出代表是梅文鼎，他坚信中国传统数学「必有精理」，对古代名著做了深入的研究，同时又能正确对待西方数学，使之在中国扎根，对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。 清康熙帝爱好科学研究，他「御定」的《数理精蕴》﹝53卷，1723﹞，是一部比较全面的初等数学书，对当时的数学研究有一定影响。
七、传统数学的整理与复兴
乾嘉年间形成一个以考据学为主的干嘉学派，编成《四库全书》，其中数学著作有《算经十书》和宋元时期的著作，为保存濒于湮没的数学典籍做出重要贡献。
在研究传统数学时，许多数学家还有发明创造，例如有「谈天三友」之称的焦循、汪莱及李锐作出不少重要的工作。李善兰在《垛积比类》﹝约1859﹞中得到三角自乘垛求和公式，现在称之为「李善兰恒等式」。这些工作较宋元时期的数学进了一步。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《畴人传》46卷﹝1795-1810﹞，开数学史研究之先河。
八、西方数学再次东进
1840年鸦战争后，闭关锁国政策被迫中止。同文馆内添设「算学」，上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二次翻译引进的高潮。主要译者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后9卷﹝1857﹞，使中国有了完整的《几何原本》中译本；《代数学》13卷﹝1859﹞；《代微积拾级》18卷﹝1859﹞。李善兰与英国传教士艾约瑟合译《圆锥曲线说》3卷，华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译《代数术》25卷﹝1872﹞，《微积溯源》8卷﹝1874﹞，《决疑数学》10卷﹝1880﹞等。在这些译着中，创造了许多数学名词和术语，至今仍在应用。 1898年建立京师大学堂，同文馆并入。1905年废除科举，建立西方式学校教育，使用的课本也与西方其它各国相仿。
九、中国现代数学的建立
这一时期是从20世纪初至今的一段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。
中国近现代数学开始于清末民初的留学活动。较早出国学习数学的有1903年留日的冯祖荀，1908年留美的郑之蕃，1910年留美的胡明复和赵元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何鲁，1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来﹝1915年转留法﹞，1919年留日的苏步青等人。他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展做出重要贡献。其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。随着留学人员的回国，各地大学的数学教育有了起色。最初只有北京大学1912年成立时建立的数学系，1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学﹝今南京大学﹞和清华大学建立数学系，不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系，到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生，陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。三十年代出国学习数学的还有江泽涵﹝1927﹞、陈省身﹝1934﹞、华罗庚﹝1936﹞、许宝騤﹝1936﹞等人，他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素﹝1920﹞，美国的伯克霍夫﹝1934﹞、奥斯古德﹝1934﹞、维纳﹝1935﹞，法国的阿达马﹝1936﹞等人。1935年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席。1936年〈中国数学会学报〉和《数学杂志》相继问世，这些标志着中国现代数学研究的进一步发展。 解放以前的数学研究集中在纯数学领域，在国内外共发表论着600余种。在分析学方面，陈建功的三角级数论，熊庆来的亚纯函数与整函数论研究是代表作，另外还有泛函分析、变分法、微分方程与积分方程的成果；在数论与代数方面，华罗庚等人的解析数论、几何数论和代数数论以及近世代数研究取得令世人瞩目的成果;在几何与拓扑学方面，苏步青的微分几何学，江泽涵的代数拓扑学，陈省身的纤维丛理论和示性类理论等研究做了开创性的工作：在概率论与数理统计方面，许宝騤在一元和多元分析方面得到许多基本定理及严密证明。此外，李俨和钱宝琮开创了中国数学史的研究，他们在古算史料的注释整理和考证分析方面做了许多奠基性的工作，使我国的民族文化遗产重放光彩。
1949年11月即成立中国科学院。1951年3月《中国数学学报》复刊﹝1952年改为《数学学报》﹞，1951年10月《中国数学杂志》复刊﹝1953年改为《数学通报》﹞。1951年8月中国数学会召开建国后第一次国代表大会，讨论了数学发展方向和各类学校数学教学改革问题。
建国后的数学研究取得长足进步。50年代初期就出版了华罗庚的《堆栈素数论》﹝1953﹞、苏步青的《射影曲线概论》﹝1954﹞、陈建功的《直角函数级数的和》﹝1954﹞和李俨的《中算史论丛》5集﹝1954-1955﹞等专着，到1966年，共发表各种数学论文约2万余篇。除了在数论、代数、几何、拓扑、函数论、概率论与数理统计、数学史等学科继续取得新成果外，还在微分方程、计算技术、运筹学、数理逻辑与数学基础等分支有所突破，有许多论着达到世界先进水平，同时培养和成长起一大批优秀数学家。

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