设ns实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的nn-s实矩阵B,使（A,B）可逆

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 00:10:25

设n*s实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的n*n-s实矩阵B,使（A,B）可逆
设n*s实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的n*n-s实矩阵B,使（A,B）可逆

设n*s实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的n*n-s实矩阵B,使（A,B）可逆
考虑矩阵(A E),其中E为n阶单位矩阵,于是r(A E) = n.
通过初等行变换,可将(A E)化为阶梯矩阵,可知该阶梯矩阵各行非零.
由r(A) = s,A的列向量线性无关.
初等行变换不改变列的线性关系,因此在阶梯矩阵中这s列仍线性无关.
因此对k ≤ s,阶梯矩阵的第k行的第一个非零元就在第k列.
对此后的n-s行,每行都有非零元.
考虑这n-s行,每行的第一个非零元的所在列,共n-s列.
在阶梯矩阵中可以看出,它们与前s列线性无关.
仍由初等行变换不改变列的线性关系,在(A E)中,这n-s列与前s列线性无关.
于是找到了n-s个列向量,它们与A的列向量线性无关.
以它们为列向量组成矩阵B,有r(A B) = n,即n阶方阵(A B)满秩.
故(A B)可逆,证毕.
因为不清楚你学到什么地方了,所以用的是最基本阶梯矩阵的方法.
如果学过基的扩充定理,那可以简单许多.
由r(A) = s,A的列向量线性无关.
由基的扩充定理,A的列向量可扩充为R^n的一组基.
即存在n-s个向量与A的列向量线性无关.
由它们组成的矩阵B即满足要求.

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