作业帮以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点A、B、M是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角θ,使OM=cosθ*向量OA+sinθ*向量OB,则直线OA、OB的斜率乘积为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 02:31:27
以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点A、B、M是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角θ,使OM=cosθ*向量OA+sinθ*向量OB,则直线OA、OB的斜率乘积为
以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点
A、B、M是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角θ,使OM=cosθ*向量OA+sinθ*向量OB,则直线OA、OB的斜率乘积为
以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点A、B、M是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角θ,使OM=cosθ*向量OA+sinθ*向量OB,则直线OA、OB的斜率乘积为
如图：
B1F1JF2正方形
设正方形的边长为1
则b=1 OF1=1=c
a^2=b^2+c^2=2
所以椭圆为x^2/2+y^2=1
令A(根号2cost1,sint1) B(根号2 cost2,sint2) M(根号2 cost3,sint3)
OM=(根号2 cost3,sint3)
OA=(根号2cost1,sint1) OB=(根号2 cost2,sint2)
所以(根号2 cost3,sint3) =cosθ(根号2cost1,sint1) +sinθ(根号2 cost2,sint2)
得cost3=cost1 cosθ +cost2 sinθ sint3=sint1 cosθ+sint2sinθ
cos^2 t3+sin^2 t3=(cost1cosθ+cost2sinθ)^2+(sint1cosθ+sint2sinθ)^2 =1
因为A,B,M异于椭圆顶点 所以 cosθ sinθ 是不可能=0的
cos^2 t1 cos^2 θ +cos^2 t2 sin^2 θ +sin^2 t1cos^2 θ +sin^2 t2 sin^2 θ
+2cost1cosθcost2sinθ +2sint1cosθ sint2 sinθ =1
cos^2 θ +sin^2 θ +2cost1cosθcost2sinθ +2sint1cosθ sint2 sinθ =1
cost1cosθcost2sinθ +sint1cosθ sint2 sinθ =0
cost1 cost2+ sint1 sint2 =0
cost1cost2 =-sint1sint2
sint1/cost1 *sint2/cost2=-1
由于OA,OB斜率为k1=sint1/根号2cost1 k2=sint2/根号2cost2
所以k1*k2=-1 /2