高一数学:已知点P(0,5)及圆Cx^2+y^2+4x-12y+24=0. 求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 20:40:13
高一数学:已知点P(0,5)及圆Cx^2+y^2+4x-12y+24=0. 求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程

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http://zhidao.baidu.com/question/28580865.html?an=0&si=1


圆C:x²+y²+4x-12y+24=0
即:(x+2)²+(y-6)²=16
圆心C的坐标:(-2,6)
∵P(0,5)
∴PC的中点坐标:(-1,11/2)
由题意可知:
过P点的圆C的弦的中点轨迹是以PC中点为圆心,以1/2|PC|为半径的圆
∵1/2|PC|=1/2√[(0+2)...

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圆C:x²+y²+4x-12y+24=0
即:(x+2)²+(y-6)²=16
圆心C的坐标:(-2,6)
∵P(0,5)
∴PC的中点坐标:(-1,11/2)
由题意可知:
过P点的圆C的弦的中点轨迹是以PC中点为圆心,以1/2|PC|为半径的圆
∵1/2|PC|=1/2√[(0+2)²+(5-6)²]=1/2√(2²+1²)=√5 /2
∴过P点的圆C的弦的中点轨迹方程为:(x+1)²+(y-11/2)²=5/4
整理得,一般方程:x²+y²+2x-11y+30=0

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弦的方程:y=kx+5
代入x^2+y^2+4x-12y+24=0,得:
(1+k^2)x^2-(2k-4)x-11=0
x1+x2=(2k-4)/(1+k^2)
这里的x1,x2就是弦的两个端点的横坐标
设弦的中点坐标(m,n)
则:m=(x1+x2)/2=(k-2)/(1+k^2) ---------(1)
而弦的中点坐标也满足弦的方程,...

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弦的方程:y=kx+5
代入x^2+y^2+4x-12y+24=0,得:
(1+k^2)x^2-(2k-4)x-11=0
x1+x2=(2k-4)/(1+k^2)
这里的x1,x2就是弦的两个端点的横坐标
设弦的中点坐标(m,n)
则:m=(x1+x2)/2=(k-2)/(1+k^2) ---------(1)
而弦的中点坐标也满足弦的方程,
所以:n=km+5
k=(n-5)/m, 代入(1),得:
(m+1)^2+(n-(11/2))^2=5/4
以x,y替代以上的m,n,得:
(x+1)^2+(y-(11/2))^2=5/4
这就是:过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程
是一个园

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