设0三角换元

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 10:21:56

设0三角换元
设0
三角换元

设0三角换元
你执着要用换元法啊……
那设x=sin^2(q),代入后为a^2/sin^2(q)+b^2/cos^2(q),再在分子上乘以1,即sin^2(q)+cos^2(q),分子分母同除cos^2(q)化为正切,得到a^2*(1+tan^2(q))/tan^2(q)+b^2*(1+tan^2(q)),进一步化为a^2+b^2+a^2/tan^2(q)+b^2*tan^2(q),余下同下面的解法.当且仅当tan(q)=(a/b)^(1/2),即x=a/(a+b)时等号成立.
可以看出,其本质是一样的,形式没变……
应该说不能用换元法,因为换来换去形式还是一样的.
不妨将原式乘以1,即x+(1-x),再乘开化为a^2+b^2+a^2*（1-x)/x+b^2*x/(1-x).此时,后两项中关于x的式子互为倒数,乘积为1,于是用不等式m+n>=2根号下（mn）,可知后两项大于等于2ab(为方便假设a、b为正）,当且仅当a^2*（1-x)/x=b^2*x/(1-x)时等号成立,最小值为a^2+b^2+2ab=（a+b)^2.
为了满足等号成立条件,必须有a^2*（1-x)/x=b^2*x/(1-x),即[（1-x)/x]^2=(b/a)^2,（1-x)/x=b/a,解得x=a/(a+b).(简单起见设a、b为正,若需要可进一步讨论）

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