求xdy/dx=ylny/x的微分方程通解正确的是xdy/dx=yln(y/x)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 13:57:31
求xdy/dx=ylny/x的微分方程通解正确的是xdy/dx=yln(y/x)

求xdy/dx=ylny/x的微分方程通解正确的是xdy/dx=yln(y/x)
求xdy/dx=ylny/x的微分方程通解
正确的是xdy/dx=yln(y/x)

求xdy/dx=ylny/x的微分方程通解正确的是xdy/dx=yln(y/x)
令y=xu
则y'=u+xu',代入原方程得:
x(u+xu')=xulnu
u+xu'=ulnu
xdu/dx=u(lnu-1)
du/[u(lnu-1]=dx/x
d(lnu)/(lnu-1)=dx/x
积分得:ln|lnu-1|=ln|x|+c1
|lnu-1|=c|x|
|ln(y/x)-1|=c|x|

两侧同时除以x得 y'=yln(y/x)/x
设 u=y/x
则 y=ux
dy/dx=u+u'x
从而原方程化为 u+u'x=ulnu
xu'=u(lnu-1)
u'/[u(lnu-1)]=1/x
从而得到 ...

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两侧同时除以x得 y'=yln(y/x)/x
设 u=y/x
则 y=ux
dy/dx=u+u'x
从而原方程化为 u+u'x=ulnu
xu'=u(lnu-1)
u'/[u(lnu-1)]=1/x
从而得到 ln|lnu-1|=lnx+C1
ln|(lnu-1)/x|=C1
即 ln|(ln(y/x)-1)/x|=C

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