作业帮lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)]
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 00:58:47
![lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)]](/uploads/image/z/6103175-23-5.jpg?t=lim%28x%E2%86%920%29%5Btan%282x%2Bx%5E3%29%2Fsin%28x-x%5E2%29%5D)
lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)]
lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)]
lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)]
x→0时2x+x^3→0 x-x^2→0 即tan(2x+x^3)→0 ,sin(x-x^2)→0
分子分母同时→0 适用于洛必塔法则
lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)]
=lim(x→0){[tan(2x+x^3)]'/[sin(x-x^2)] '}
=lim(x→0){[sec(2x+x^3)]^2*(2+3x^2)]/[cos(x-x^2) *(1-2x)]}
x→0,sec(2x+x^3)→1,cos(x-x^2)→1,(2+3x^2)→2 ,(1-2x)→1
所以上式极限为
=2
因为tan(2x+x^3)的等价无穷小为2x+x^3，sin(x-x^2)的等价无穷小为x-x^2
所以：
原式=lim(x→0)[（2x+x^3）/(x-x^2)]
=lim(x→0)[（2+x^2)/(1-x)]
=2
可以先把他分解 再化简得到
也可以直接求导数得到答案
利用等价无穷小
在x→0时，tanx和sinx都是x的等价无穷小
x→0时2x+x^3和x-x^2也都趋近于0
因此x→0时，2x+x^3是tan(2x+x^3)的等价无穷小，同时x-x^2是sin(x-x^2)的等价无穷小
因此lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)] =lim(x→0)[(2x+x^3)/(x-x^2)]
上下同...
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利用等价无穷小
在x→0时，tanx和sinx都是x的等价无穷小
x→0时2x+x^3和x-x^2也都趋近于0
因此x→0时，2x+x^3是tan(2x+x^3)的等价无穷小，同时x-x^2是sin(x-x^2)的等价无穷小
因此lim(x→0)[tan(2x+x^3)/sin(x-x^2)] =lim(x→0)[(2x+x^3)/(x-x^2)]
上下同除以x，得lim(x→0)[(2x+x^3)/(x-x^2)] = lim(x→0)[(2+x^2)/(1-x)]
这个时候就可以把x=0代进去，求得结果是2
如果还有不明白的地方，可以给我发消息
收起
对其进行求导就可以啦