作业帮圆C1:x^2+(y+5)^2=5,点A（1,-3）求过点A与圆c1相切的直线L方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 01:37:56
圆C1:x^2+(y+5)^2=5,点A（1,-3）求过点A与圆c1相切的直线L方程
圆C1:x^2+(y+5)^2=5,点A（1,-3）求过点A与圆c1相切的直线L方程
圆C1:x^2+(y+5)^2=5,点A（1,-3）求过点A与圆c1相切的直线L方程
方法一：
设过点A(1,－3)且与圆C1相切的直线L方程为：y＋3＝k(x－1)【点斜式】
即：kx－y－k－3＝0
相切,则圆心到直线L的距离为半径
圆C1的圆心：(0,－5),半径r：√5
点到直线的距离：
d＝|5－k－3|/√[k²＋(－1)²]＝√5
解得：k＝－1/2
∴直线L的方程为：y＋3＝－1/2(x－1)
化为一般式：x＋2y＋5＝0
方法二：
圆心C1(0,－5),半径r＝√5
点A(1,－3)在圆C1上,是切点
kC1A＝(－5＋3)/(0－1)＝2
∴直线L的斜率k：(－1)/2＝－1/2
∴直线L方程为：y＋3＝－1/2(x－1)
即：x＋2y＋5＝0
L：x+2y+2=0
x+2y+5=0
圆心O(0,-5), A（1，-3）在圆上，
切线的法向量为OA=（1，2）
设切线为x+2y+C=0，A代入此直线：1-6+C=0，C=5
所以x+2y+5=0
把点A（1，-3）代入圆方程可知，点在圆上，设直线方程斜率为K，根据斜截式得y+3=K(x-1)
代入圆方程整理得：
k^2x^2-2k(k-2)x+k^2+2k-1=0
△＝4k^2(k-2)^2-4k^2(k^2+2k-1)可以看出，直线并不与X轴或Y轴平行，故k≠0
直线与圆只有一个交点故△＝0
解得k=5/4
代入可得直线方程5x-4y-17...
全部展开
把点A（1，-3）代入圆方程可知，点在圆上，设直线方程斜率为K，根据斜截式得y+3=K(x-1)
代入圆方程整理得：
k^2x^2-2k(k-2)x+k^2+2k-1=0
△＝4k^2(k-2)^2-4k^2(k^2+2k-1)可以看出，直线并不与X轴或Y轴平行，故k≠0
直线与圆只有一个交点故△＝0
解得k=5/4
代入可得直线方程5x-4y-17=0。
收起
设直线L:y=kx+b
因为L过A(1,-3)
所以b=-3-k
联立:将y=kx-3-k代入x^2+(y+5)^2=5
得到x^2+(kx+2-k)^2=5
展开得到关于x的一元二次方程(k^2+1)^2+2k(2-k)x+(k-2)^2-5=0
由于相切，所以该方程有且仅有一实根，判别式等于0.
把k解出代入即可
y+3=-1/2(x-1)