作业帮数列a1=2,an=4a（n-1）+2^n,求an?(n大于等于2)提示,等式两边同除以2^n.这是答案说的,但我还是不会,请大虾们指导一下
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 21:45:41
数列a1=2,an=4a（n-1）+2^n,求an?(n大于等于2)提示,等式两边同除以2^n.这是答案说的,但我还是不会,请大虾们指导一下
数列a1=2,an=4a（n-1）+2^n,求an?(n大于等于2)
提示,等式两边同除以2^n.这是答案说的,但我还是不会,请大虾们指导一下
数列a1=2,an=4a（n-1）+2^n,求an?(n大于等于2)提示,等式两边同除以2^n.这是答案说的,但我还是不会,请大虾们指导一下
等式两边同除以2^n得an/2^n=[2a(n-1)/2^(n-1)]+1
继续变形得(an/2^n)+1=2{[a(n-1)/2^(n-1)]+1}
令bn=(an/2^n)+1,则上式即bn=2b(n-1),可见数列{bn}是一个等比数列,首项为b1=a1/2+1=2/2+1=2,公比为2,所以
bn=b1*2^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n
即(an/2^n)+1=2^n
所以an=2^n(2^n-1)=4^n-2^n.
方法二
an=4a(n-1)+2^n变形得
an+2^n=4[a(n-1)+2^(n-1)
令bn=an+2^n,则上式即bn=4b(n-1),可见数列{bn}是一个等比数列,首项为b1=a1+2=2+2=4,公比为4,所以
bn=b1*4^(n-1)=4*4^(n-1)=4^n
即an+2^n=4^n
所以an=4^n-2^n.
等式两边同除以2^n,把数列an/2^n看成是数列bn，得：bn-2b(n-1)=1,就可以做了
除2^n也可以，只是有点麻烦， 简单一点应该是加上2^n 答案见图
除以2^n
an/2^n=2^2*a(n-1)/2^n+1
an/2^n=2a(n-1)/2^(n-1)+1
an/2^n+1=2a(n-1)/2^(n-1)+2=2[a(n-1)/2^(n-1)+1]
(an/2^n+1)/[a(n-1)/2^(n-1)+1]=2
所以an/2^n+1是等比数列，q=2
则an/2^n+1=(a1/2^1+1)*2^(n-1)=2^n
所以an=2^n*(2^n-1)=2^(2n)-2^n