设A是n阶矩阵,且A＾2=A,证明r（A）+r(A-E)=n

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 14:18:20

设A是n阶矩阵,且A＾2=A,证明r（A）+r(A-E)=n
设A是n阶矩阵,且A＾2=A,证明r（A）+r(A-E)=n

设A是n阶矩阵,且A＾2=A,证明r（A）+r(A-E)=n
书上例题.由A＾2=A得出A的最小多项式只可能是三种情形
1）A=0,显然命题成立
2）A-E=0,命题也显然成立
3）A（A-E）=0,最小多项式没有重根,也就是说没有若当块,换句话说就是特征值0,1的特征子空间张满全空间.
又因为Ax=0的解空间维数等于n-r(A),（A-E）x=0的解空间维数等于n-r(A-E),
n-r(A)+n-r(A-E)=n,所以有r（A）+r(A-E)=n
1),2)可以归为3情况,可以不用讨论1）,2）

证明: 首先有两个个定理要知道
(1)若AB=0.则r(A)+r(B)<=n
(2)r(A)+r(B)>=r(A+或 -B)
由A＾2=A,得A(A-E)=0,
所以r(A)+r(A-E)<=n
另外r(A)+r(A-E)>=r[A-(A-E)]
=r(E)=n
所以r(A)+r(A-E)=n

设A是n阶矩阵,且A＾2=A,证明r（A）+r(A-E)=n 设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2) 线性代数：设A是n阶矩阵,满足A^2=A.证明：r(A)+r(A-E)=n 设A是n阶矩阵,且A2=A+2I,证明r(a-2I)+r(A+I)=n 设A、B都是n阶矩阵,且AB=O,证明R(A)+R(B) 设A是n阶实对称矩阵,且A^2=A,R(A)=r(0 设A为n阶矩阵,证明r(A^n)=r(A^(n+1))线性代数设A是N阶矩阵,且满足A的平方=E,证明r（A-E）+r（A+E）=n 设A是N阶矩阵,且满足A的平方=E,证明r（A-E）+r（A+E）=n 设A,B是n阶实矩阵,且R（A+B）=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵. 设A,B是n阶实矩阵,且R（A+B）=n,证明A^TA+B^TB是正定矩阵. 线性代数,设A是(n≥2)阶方阵,证明A*是A的伴随矩阵,r(A*)=1的充要条件是r(A)=n-1. 设n阶矩阵,r(A)=n-1,证明:r(A*)=1 (A*)表示A的伴随矩阵. 设A是n阶矩阵,满足A^2-A-2E=o,证明r(A-2E)r(A+E)=n 设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵设n阶矩阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n 设n阶矩阵A满足A^2=A,且r(A)=r,则|2E-A|=