初三数学竞赛题 几何的 速度 急求 谢谢!如图,AB为⊙O的直径,C在⊙O上,并且OC⊥AB,P 为⊙O上的一点,位于B、C之间,直线CP与AB相交于点Q,过点Q作直线与AB垂直,交直线AP与R.求证：BQ=QR.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 20:46:19
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初三数学竞赛题 几何的 速度 急求 谢谢!
如图,AB为⊙O的直径,C在⊙O上,并且OC⊥AB,P 为⊙O上的一点,位于B、C之间,直线CP与AB相交于点Q,过点Q作直线与AB垂直,交直线AP与R.求证：BQ=QR.

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如果学过四点共圆,这个题目非常简单
1) 由AB是圆O的直径,OC⊥AB知∠APC=(1/2)∠AOC=(1/2)*90°=45°.根据对顶角相等可知∠QPR=∠APC=45°
2) 由∠APB=∠BQR=90°可知P、B、Q、R四点共圆,于是∠QBR=∠QPR=45°,∠QRB=90°-∠QBR=45°,从而QB=QR,证毕
如果没学过四点共圆,通过相似形证明.假设AP交CO于S
1) 证明△BPQ相似于△CPA（过程略）,于是BQ/PQ=AC/AP
2) 根据CS//QR可知QR/PQ=CS/CP
3) 证明△SCA相似于△CPA（过程略）,于是AC/AP=CS/CP
4) 比较1)、2)、3)的结论可知BQ/PQ=QR/PQ,即BQ=QR,证毕

没有图算什么玩意儿啊

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