作业帮证明:是否存在正整数n使n^4+n^3+n^2+n+1是完全平方数"?如果存在,请找出所有n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 01:50:19
证明:是否存在正整数n使n^4+n^3+n^2+n+1是完全平方数"?如果存在,请找出所有n
证明:是否存在正整数n使n^4+n^3+n^2+n+1是完全平方数"?如果存在,请找出所有n
证明:是否存在正整数n使n^4+n^3+n^2+n+1是完全平方数"?如果存在,请找出所有n
n = 3是唯一的正整数n使其为完全平方数.
这种题目的一种证明思路是证明其夹在两个相邻的完全平方数之间.
若n是偶数,取正整数m = n^2+n/2.
有m^2 = n^4+n^3+n^2/4 < n^4+n^3+n^2+n+1.
而(m+1)^2 = m^2+2m+1 = n^4+n^3+9n^2/4+n+1 > n^4+n^3+n^2+n+1.
即n^4+n^3+n^2+n+1介于两个相邻完全平方数之间,不是完全平方数.
若n > 3是奇数,取正整数m = n^2+(n-1)/2.
m^2 = n^4+n^3-3n^2/4-n/2+1/4 < n^4+n^3+n^2+n+1
(m+1)^2 = n^4+n^3+5n^2/4+n/2+1/4 = (n^4+n^3+n^2+n+1)+(n^2-2n-3)/4.
由n > 3,(n^2-2n-3)/4 = (n-3)(n+1)/4 > 0,于是(m+1)^2 > n^4+n^3+n^2+n+1.
故n^4+n^3+n^2+n+1介于两个相邻完全平方数之间,不是完全平方数.
最后代入n = 1,3,得n = 3时n^4+n^3+n^2+n+1 = 121为完全平方数.
若n^4＋n^3＋n^2＋n＋1是一个完全平方数，则可表示成：
（n^2＋an＋1）^2，其中a是待定常数。
∵（n^2＋an＋1）^2＝n^4＋a^2n^2＋1＋2an^3＋2n^2＋2an＝n^4＋n^3＋n^2＋n＋1，
∴比较各项系数，得：2a＝1、（a^2＋2）＝1，这两个式子显然不能同时成立，
∴不存在正整数n，使n^4＋n^3＋n^2＋n＋1是完全平方...
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若n^4＋n^3＋n^2＋n＋1是一个完全平方数，则可表示成：
（n^2＋an＋1）^2，其中a是待定常数。
∵（n^2＋an＋1）^2＝n^4＋a^2n^2＋1＋2an^3＋2n^2＋2an＝n^4＋n^3＋n^2＋n＋1，
∴比较各项系数，得：2a＝1、（a^2＋2）＝1，这两个式子显然不能同时成立，
∴不存在正整数n，使n^4＋n^3＋n^2＋n＋1是完全平方数。
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