数学 三角形ABC中,∠B=45,AC=4,则三角形面积的最大值为

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 02:52:18
数学 三角形ABC中,∠B=45,AC=4,则三角形面积的最大值为

数学 三角形ABC中,∠B=45,AC=4,则三角形面积的最大值为
数学 三角形ABC中,∠B=45,AC=4,则三角形面积的最大值为

数学 三角形ABC中,∠B=45,AC=4,则三角形面积的最大值为
∵∠B=45°,AC=b=4,
∴由余弦定理cosB=a2+c2-b2/2ac 得:√2/2=a2+c2-16 /2ac ,
∴√2ac=a²+c²-16≥2ac-16,即(2-√2)ac≤16(当且仅当a=c时取等号),
∴ac≤16/2-√2 =8(2+√2)=16+8√2,
∴△ABC面积S=1/2,acsinB≤1/2(16+8√2)×√2/2=4+4√2,
则△ABC面积的最大值为4+4√2,
故答案为:4+4√2

由余弦定理得到
cos45°=(a^2+c^2-16)/(2ab)=√2/2
得到a^2+c^2-16=√2ac>=2ac-16 得到ac<=16/(2-√2)
而S=1/2ac *sin45°<=√2/4*16/(2-√2)=4+4√2
所以三角形面积的最大值为4+4√2

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