设α为锐角,求证:sinα+cosα

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 15:09:49
设α为锐角,求证:sinα+cosα

设α为锐角,求证:sinα+cosα
设α为锐角,求证:sinα+cosα

设α为锐角,求证:sinα+cosα
α∈(0,π/2)
α+π/4∈(π/4,3π/4)
sinα+cosα
=√2(√2/2*sinα+√2/2*cosα)
=√2(sinαcosπ/4+cosαsinπ/4)
=√2sin(α+π/4)
sin(α+π/4)∈[√2/2,√2]
即sinα+cosα∈[√2/2,√2]
因为√2

sinα+cosα = √2(sinαcos45°+cosαsin45°) = √2sin(α+45°) ≤√2 < π/2

sinα+cosα=√2sin(a+π/4)
α为锐角, π/4√2/21<√2sin(a+π/4)<=√2
sinα+cosα最大值=√2<π/2
所以
sinα+cosα<π/2

平方
1+sin2a<(π/2)方
(π/2)方>2 得证