作业帮设F1,F2是椭圆的两个焦点,过F2作斜率为1的直线L,交椭圆于A,B两点.M为线段的中点,射线OM交椭圆于点C.若向量OA+向量OB=向量OC(O为原点)求椭圆离心率
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:19:09
设F1,F2是椭圆的两个焦点,过F2作斜率为1的直线L,交椭圆于A,B两点.M为线段的中点,射线OM交椭圆于点C.若向量OA+向量OB=向量OC(O为原点)求椭圆离心率
设F1,F2是椭圆的两个焦点,过F2作斜率为1的直线L,交椭圆于A,B两点.M为线段的中点,射线OM交椭圆于点C.若向量OA+向量OB=向量OC(O为原点)求椭圆离心率
设F1,F2是椭圆的两个焦点,过F2作斜率为1的直线L,交椭圆于A,B两点.M为线段的中点,射线OM交椭圆于点C.若向量OA+向量OB=向量OC(O为原点)求椭圆离心率
设F1,F2是椭圆的两个焦点,过F2作斜率为1的直线L,交椭圆于A,B两点.M为线段的中点,射线OM交椭圆于点C.若向量OA+向量OB=向量OC(O为原点)求椭圆离心率
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,右焦点F₂(c,0),过F₂的斜率为1的直线L的方程为：y=x-c,
将此式代入椭圆方程得x²/a²+(x-c)²/b²=1,展开化简整理得二次方程：
(a²+b²)x²-2a²cx+a²(c²-b²)=0.(1)
L与椭圆交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),依韦达定理有;
x₁+x₂=2a²c/(a²+b²)；y₁+y₂=(x₁-c)+(x₂-c)=(x₁+x₂)-2c=2a²c/(a²+b²)-2c=-2b²c/(a²+b²)；
设AB的中点M的坐标为(m,n),则：
m=(x₁+x₂)/2=a²c/(a²+b²)；
n=(y₁+y₂)/2=-b²c/(a²+b²)；
那么射线OM的方程为y=(n/m)x=-(b²/a²)x,代入椭圆方程得：
x²/a²+[-(b²/a²)x]²/b²=x²/a²+(b²/a⁴)x²=[(a²+b²)/a⁴]x²=1,故得x=a²/√(a²+b²),
y=-(b²/a²)[a²/√(a²+b²)]=-b²/√(a²+b²)],即C点的坐标为(a²/√(a²+b²),-b²/√(a²+b²)).
于是向量OA=(x₁,y₁)；向量OB=(x₂,y₂)；向量OC=(a²/√(a²+b²),-b²/√(a²+b²)).
已知OA+OB=OC,故有：
x₁+x₂=2a²c/(a²+b²)=x‹c›=a²/√(a²+b²),化简得2c=√(a²+b²),两边平方之得：
4c²=a²+b²)\,用b²=a²-c²代入得4c²=2a²-c²,即有3c²=2a²,∴e²=(c/a)²=2/3,
故e=√(2/3)=(√6)/3.