微分中值定理及导数应用课后题第10题若x1,x2>0,试证明,至少存在一点ζ在x1,x2之间 ...

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 14:05:12

微分中值定理及导数应用课后题第10题若x1,x2>0,试证明,至少存在一点ζ在x1,x2之间 ...
微分中值定理及导数应用课后题

第10题
若x1,x2>0,试证明,至少存在一点ζ在x1,x2之间 ...

微分中值定理及导数应用课后题第10题若x1,x2>0,试证明,至少存在一点ζ在x1,x2之间 ...
把结论的等式两边同除以x1x2,得e^(x2)/x2-e^(x1)/x1=(1-ξ)e^ξ×(1/x2-1/x1),e^x/x的导数是(x-1)e^x/x^2,1/x的导数是-1/x^2,所以选择函数f(x)=e^x/x,g(x)=1/x,在区间[x1,x2]上使用柯西中值定理即可得到结论.
证明：设f(x)=e^x/x,g(x)=1/x,x∈[x1,x2],则f(x),g(x)在(x1,x2)内连续在[x1,x2]上可导,由柯西中值定理,至少存在一点ξ∈(x1,x2),使得[f(x2)-f(x1)]/(g(x2)-g(x1)=f'(ξ)/g'(ξ),整理即得x1e^x2-x2e^x1=(1-ξ)e^ξ(x1-x2)

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