作业帮答出来算你天才 我觉得非常难（（根号下17+4）的（2n+1）方 n属于N* .这个式子的整数部分和小数部分分别为X Y 则Y(X+Y)=?可以推导实验出来 但这道题是证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 09:59:40
答出来算你天才 我觉得非常难（（根号下17+4）的（2n+1）方 n属于N* .这个式子的整数部分和小数部分分别为X Y 则Y(X+Y)=?可以推导实验出来 但这道题是证明题
答出来算你天才 我觉得非常难
（（根号下17+4）的（2n+1）方 n属于N* .这个式子的整数部分和小数部分分别为X Y 则Y(X+Y)=?可以推导实验出来 但这道题是证明题
答出来算你天才 我觉得非常难（（根号下17+4）的（2n+1）方 n属于N* .这个式子的整数部分和小数部分分别为X Y 则Y(X+Y)=?可以推导实验出来 但这道题是证明题
解题思路：
1）（√17＋4）^(2n+1)＝m＋M
只要知道M与m中的一个就可以了.
2）可先对M或m的结果进行猜测
当n＝0时,M＝8,m＝√17－4；
当n＝1时,M＝536,m＝（√17－4）^3；
猜测m＝（√17－4）^(2n+1).
所以我的解答如下：
设x＝√17＋4,y＝√17－4.
则 x－y＝8,xy＝1,x^2＋y^2＝66
下面用数学归纳法证明x^(2n＋1)－y^(2n＋1)是整数：
1）当n＝0时,x－y＝8,是整数；
当n＝1时,x^3－y^3＝（x－y）（x^2＋xy+y^2）＝8×（66＋1）
所以,x^3－y^3也是整数；
2）若当n＝k－1和n＝k时,x^(2n＋1)－y^(2n＋1)都是整数,
即x^(2k－1)－y^(2k－1)和x^(2k＋1)－y^(2k＋1)都是整数,则当n＝k＋1时,
x^(2n＋1)－y^(2n＋1)
＝x^(2k＋3)－y^(2k＋3)
＝（x^2＋y^2）[（x^(2k＋1)－y^(2k＋1）＋x^2y^(2k＋1)－y^2x^(2k＋1)]
＝（x^2＋y^2）{x^(2k＋1)－y^(2k＋1)－x^2y^2[x^(2k－1)－y^(2k－1）] }
＝66{x^(2k＋1)－y^(2k＋1）－[x^(2k－1)－y^(2k－1）] }
所以,当n＝k＋1时,x^(2n＋1)－y^(2n＋1)也是整数.
综合1）、2）可得,当n∈N时,x^(2n＋1)－y^(2n＋1)是整数.
∵4＜√17＜5,∴0＜y＜1,∴0＜y^(2n＋1)＜1；
∵x＝√17＋4,∴x^(2n＋1)＝（√17＋4）^(2n＋1),
又∵x^(2n＋1)－y^(2n＋1)是整数,0＜y^(2n＋1)＜1,
∴M＝x^(2n＋1)－y^(2n＋1),m＝y^(2n＋1).
∴m(M＋m)＝y^(2n＋1)x^(2n＋1)＝（xy）^(2n＋1)＝1^(2n＋1)＝1
那么我不介意你叫我天才.哈.
不过我也是想了很久才想起这种思路的.
我写得这么详细和这么辛苦,你不会就一点悬赏都没有吧.