线性代数矩阵的一道题已知B是可逆矩阵,且A的平方＋AB＋B的平方＝0,证明A和A+B都可逆

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:07:55
线性代数矩阵的一道题已知B是可逆矩阵,且A的平方＋AB＋B的平方＝0,证明A和A+B都可逆

线性代数矩阵的一道题已知B是可逆矩阵,且A的平方＋AB＋B的平方＝0,证明A和A+B都可逆
线性代数矩阵的一道题
已知B是可逆矩阵,且A的平方＋AB＋B的平方＝0,证明A和A+B都可逆

线性代数矩阵的一道题已知B是可逆矩阵,且A的平方＋AB＋B的平方＝0,证明A和A+B都可逆
移项,因式分解,得：A(A+B)=B^2
两边后乘B逆的平方,得：A(A+B)(B^(-1))^2=E
所以A可逆,A的逆为(A+B)(B^(-1))^2
同理等式两边前乘B逆的平方,可证明A+B可逆,其逆为(B^(-1))^2 A

A²＋AB＋B²＝0,令C＝-B²,则C可逆.C的逆矩阵＝D,
有A（A＋B）D＝I （I是单位矩阵）
∴A和A+B都可逆

A的平方记为 A^2
B的逆 记为 B^(-1)
原题为
A^2+AB+B^2=0
A(A+B)=-B^2
因为 B可逆 (右乘B的逆的平方）
-A(A+B)(B^(-1))^2=E
所以A可逆
其逆为
-(A+B)(B^(-1))^2
同理(左乘B的逆的平方）

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A的平方记为 A^2
B的逆 记为 B^(-1)
原题为
A^2+AB+B^2=0
A(A+B)=-B^2
因为 B可逆 (右乘B的逆的平方）
-A(A+B)(B^(-1))^2=E
所以A可逆
其逆为
-(A+B)(B^(-1))^2
同理(左乘B的逆的平方）
-(B^(-1))^2 A(A+B)=E
所以 A+B 可逆
其逆为
-(B^(-1))^2 A

收起

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