作业帮AD是三角形ABC的高,AB+BD=AD+CD,求三角形ABC为等腰三角形(不用勾股定理),十分钟之内,答对双倍奖励
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 10:41:15
AD是三角形ABC的高,AB+BD=AD+CD,求三角形ABC为等腰三角形(不用勾股定理),十分钟之内,答对双倍奖励
AD是三角形ABC的高,AB+BD=AD+CD,求三角形ABC为等腰三角形(不用勾股定理),十分钟之内,答对双倍奖励
AD是三角形ABC的高,AB+BD=AD+CD,求三角形ABC为等腰三角形(不用勾股定理),十分钟之内,答对双倍奖励
证明：∵三角形ABD和ACD是直角三角形,
∴AB2-BD2=AC2-CD2①,
又由AB+CD=AC+BD得：
AB-BD=AC-CD②,
由①②得：
AB+BD=AC+CD③,
联立公式①③得：
AB=AC．
题目写清楚,A是钝角还是锐角!
用勾股定理，证明方法很简单，想必楼主已有证明。下面不用勾股定理。
如图，用反证法，假如AB≠AC.不妨设AC＞AB 则∠ABD＞∠ACD BD＜CD
把⊿ADB延AD翻转180º 到达⊿ADB1,取EB1＝DB1, FC＝DC [按题设:AE＝AF]
∵∠ABD＝∠AB1D＞∠ACD
∴∠EDB1＝（180º-∠AB1D）/2＜...
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用勾股定理，证明方法很简单，想必楼主已有证明。下面不用勾股定理。
如图，用反证法，假如AB≠AC.不妨设AC＞AB 则∠ABD＞∠ACD BD＜CD
把⊿ADB延AD翻转180º 到达⊿ADB1,取EB1＝DB1, FC＝DC [按题设:AE＝AF]
∵∠ABD＝∠AB1D＞∠ACD
∴∠EDB1＝（180º-∠AB1D）/2＜（180º-∠ACD）/2＝∠FDB1
∴ E∈⊿DCF内部。 ∴∠AFE＞∠AFD
∠DFC＝（180º-∠ACD）/2＝90º-∠ACD/2＜90º
∴∠AFD＝180º-∠DFC＞90º ∴∠AFE＞∠AFD＞90º
∴∠AFE＞∠AEF （一个三角形中最多一个钝角，它最大！）
得到AE＞AF,与题设:AE＝AF 矛盾。
∴AB≠AC不能成立，AB＝AC. ⊿ABC是等腰三角形。
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