求定积分[-派/2,派/2]根号下(cosx-cos^3x)dx

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 17:59:59

求定积分[-派/2,派/2]根号下(cosx-cos^3x)dx
求定积分[-派/2,派/2]根号下(cosx-cos^3x)dx

求定积分[-派/2,派/2]根号下(cosx-cos^3x)dx
先求积分再代入范围.
原式=∫√cosx[1-(cosx)^2] dx
=∫|sinx|√(cosx)dx
=-2∫√(cosx)d(cosx) 此处积分范围变为(0,π/2)
=-2*(2/3)(cosx)^(3/2)
代入范围得：4/3
关键是处理|sinx|的问题,在积分范围内需要分段处理,因为它并不是一个可导函数.

分两块积分，前面一部分∫cosxdx (-π/2,π/2) =2;
后一部分由于cosx*dx=d(sinx)，故化为：
∫(cosx)^3dx=∫(1-(sinx)^)d(sinx)=∫cosx*dx-∫(sinx)^2d(sinx)
=(0-0)-(1-1)=0, 其中x∈【-π/2，π/2】；
所以原积分为2

∫(cosx-cos^3x)d(x)
=∫cosX*（（sinX）^2）d（x)
=∫（sinX）^2d（sinX）
=1/3（sinX）^3+c
那么原式等于1/3（sinπ/2）^3-1/3（sin（-π/2））^3=2/3

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