作业帮证明下列不等式(1)若abc=1,则(2+a)(2+b)(2+c)大于等于 27
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 17:44:02
证明下列不等式(1)若abc=1,则(2+a)(2+b)(2+c)大于等于 27
证明下列不等式(1)若abc=1,则(2+a)(2+b)(2+c)大于等于 27
证明下列不等式(1)若abc=1,则(2+a)(2+b)(2+c)大于等于 27
因为2+a=1+1+a≥3³√a,且等号成立当且仅当a=1.
同理有2+b≥3³√b,2+c≥3³√c.
所以：(2+a)(2+b)(2+c)≥27³√abc=27,等号成立当且仅当a=b=c=1.
因为
abc=1
令:a=1,b=1, c=1 则（2+a）（2+b）（2+c）=27
所以(2+a)(2+b)(2+c)≥27
用牛刀来杀这只鸡：
令a=x^3 b=y^3 c=z^3 于是xyz=1
我们有(2+a)(2+b)(2+c)>=27
<=> (2xyz+x^3)(2xyz+y^3)(2xyz+z^3)>=27x^3y^3z^3 (齐次化）
<=>2∑x^5y^2z^2+∑x^4y^4z-3∑x^3y^3z^3>=0
<=>2(∑x^5y^2z^2-∑x^3y^...
全部展开
用牛刀来杀这只鸡：
令a=x^3 b=y^3 c=z^3 于是xyz=1
我们有(2+a)(2+b)(2+c)>=27
<=> (2xyz+x^3)(2xyz+y^3)(2xyz+z^3)>=27x^3y^3z^3 (齐次化）
<=>2∑x^5y^2z^2+∑x^4y^4z-3∑x^3y^3z^3>=0
<=>2(∑x^5y^2z^2-∑x^3y^3z^3)+(∑x^4y^4z-∑x^3y^3z^3)>=0
由Muirhead定理知上式成立
(其中∑为对称求和，即∑f(a,bc)=f(a,b,c)+f(a,c,b)+f(b,a,c)+f(b,c,a)+
f(c,a,b)+f(c,b,a))
收起
(2+a)(2+b)(2+c)
=8+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc
=9+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)
≥9+4*3(abc)^(1/3)+2*3(abc)^(2/3)
=9+4*3+2*3
=27
等号当且仅当a=b=c=1时，成立