设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2向设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度

设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2向设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度
设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2向
设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度，向量AF=2向量FB。
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果lABl=15/4,求椭圆C的方程。
希望各位高手写出详细解题过程

设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2向设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1 的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度
(1)记A,B横坐标分别为x1,x2
向量AF=2向量FB
由定比分点得(x1+2x2)/3=-c
即x1+2x2=-3c
由第二定义可得|AF|/(x1+a²/c)=c/a
则焦半径|AF|=cx1/a+a
同理|BF|=cx2/a+a
|AF|+2|BF|=2|AF|=c(x1+2x2)/a+3a
则|AF|=-3c^2/2a+3a/2 ①
由|AF|=2|BF|得x1-2x2=a^2/c ②
根据图像分析得
x2+a²/c=a²/c-c-|BF|cos60°
x1+a²/c=a²/c-c+|AF|cos60°
x2=-c-|AF|/4
x1=-c+|AF|/2
①②==>x1-2x2=c+|AF|=c-3c^2/2a+3a/2=a^2/c
1-3e/2+3/2e=1/e^2==>1-1/e^2=3(e-1/e)/2
==>(e^2-1)/e^2=3(e^2-1)/2e得e=2/3
(2)c=2a/3
|AB|=|AF|+|BF|=3|AF|/2=-9c^2/4a+9a/4
=-a+9a/4=5a/4=15/4 得a=3
椭圆C的方程为x^2/9+y^2/5=1

设椭圆C : x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度，向量AF=2FB.
(1)求椭圆C的离心率。
(2)如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程、
(1)解析：∵椭圆C : x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），∴其右焦点F(c,0)
设AB为x=my+c==>x^2=m...

全部展开

设椭圆C : x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60度，向量AF=2FB.
(1)求椭圆C的离心率。
(2)如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程、
(1)解析：∵椭圆C : x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），∴其右焦点F(c,0)
设AB为x=my+c==>x^2=m^2y^2+2mcy+c^2
代入椭圆(b^2m^2+a^2)y^2+2b^2mcy+b^2c^2-a^2b^2=0
由韦达定理y1+y2=-2b^2mc/(b^2m^2+a^2)，y1y2=( b^2c^2-a^2b^2)/(b^2m^2+a^2)
∵直线l的倾斜角为60度，∴m=√3/3
y1+y2=-2√3b^2c/[3(b^2/3+a^2)] ，y1y2=( -b^4)/(b^2/3+a^2)
∵向量AF=2FB，即(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2), 即y1=-2y2
∴y2=2√3b^2c/[3(b^2/3+a^2)]
y2^2=(b^4)/[2(b^2/3+a^2)]
∴4b^4c^2/[3(b^2/3+a^2)^2]=(b^4)/[2(b^2/3+a^2)]
8c^2/(b^2+3a^2)=1
8c^2=b^2+3a^2==>9c^2=4a^2==>e=2/3
(2)解析：|AB|=√(1+m^2)*|y1-y2|=15/4
2√3/3*|y1-y2|=15/4==>|y1-y2|=15√3/8
由(1)知y1=-2y2==>y2=5√3/8
∵e=2/3，∴c=2/3a，b=√5/3a
y2=(2b^2c/√3)/ (1/3b^2+a^2)==>y2=5√3/24a
∴a=3, b=√5
∴x^2/9+y^2/5=1
极坐标法：
解析：椭圆极坐标方程：ρ=ep/(1-ecosθ) (0＜e＜1,p为焦点到准线的距离)
∵|AF|=2|BF|
∴ep/(1-ecos60°)=2ep/(1-ecos240°)
∴e=2/3
(2)ep/(1-ecos60°)+ep/(1-ecos240°)=15/4
e=c/a=2/3
p=b^2/c=(a^2-c^2)/c=5/2
a^2=9
c^2=4
b^2=5
方程即为x^2/9+y^2/5=1

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