作业帮n个n维向量线性无关的证明题目是这样的:设a1,a2,...,an是n个n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任意一个n维向量都可以被它们线性表示.必要性很好证,我已经证出来了下面是我关于充
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 00:47:17
n个n维向量线性无关的证明题目是这样的:设a1,a2,...,an是n个n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任意一个n维向量都可以被它们线性表示.必要性很好证,我已经证出来了下面是我关于充
n个n维向量线性无关的证明
题目是这样的:
设a1,a2,...,an是n个n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任意一个n维向量都可以被它们线性表示.
必要性很好证,我已经证出来了
下面是我关于充分性的证明:
令b为任意一个n维向量,那么存在不全为0的数k1,k2,...,kn使得k1*a1+k2*a2+...+kn*an=b (1)
假设a1,a2,...,an线性相关,那么存在不全为0的数p1,p2,...,pn使得p1*a1+p2*a2+...+pn*an=0 (2)
用(1)-(2)得到
(k1-p1)*a1+(k2-p2)*a2+.+(kn-pn)*an=b (3)
因此只有当p1,p2,.,pn全为0时,等式(3)成立,这与假设相矛盾,即证得充分性
我不知道我这样的证明合理不~有没有更好的更简单的证明,我总觉得我这个证明看起来挺不舒服的
n个n维向量线性无关的证明题目是这样的:设a1,a2,...,an是n个n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任意一个n维向量都可以被它们线性表示.必要性很好证,我已经证出来了下面是我关于充
这个证明不对,除非你能够证明出（1）是b的唯一表示法,否则这样是不行的.
充分性：
取n个线性无关的n维向量b1,b2,..,bn,由必要性知任一n维向量均可由b1,b2,...,bn线性表示,也就是说a1,a2,...,an可由b1,b2,...,bn线性表示.再由已知条件：b1,b2,...,bn也可由a1,a2,...,an线性表示,因此两向量组等价,因此它们的秩相同,由于b1,b2,...,bn线性无关,秩为n,因此：a1,a2,...,an的秩也为n,因此a1,a2,...,an线性无关.
……
你的（3）式得不出p1,p2,....,pn全为0。