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来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 02:37:31
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已知函数f(x)=2^x+a2^(-x),
（1）当a=-1时,求f(x)的零点；
（2）若函数f(x)为偶函数,求a的取值；
（3）若不等式1/2<=f(x)<=4在x∈[0,1]上恒成立,求a的取值范围.
（1）解析：∵函数f(x)=2^x+a2^(-x)
令a=-1==> f(x)=2^x-2^(-x)=0
∴2^x=2^(-x)==>x=-x==>x=0
∴当x=0时,f(0)=0
（2）解析：令f’(x)=2^xln2-a2^(-x)ln2
当a<=0时,f’(x)>0,∴f(x)在定义域内单调增；
当a>0时
令f’(x)=0==>x=lna/(2ln2)
f’’(x)=2^x(ln2)^2+a2^(-x)(ln2)^2==>f’’(lna/(2ln2))>0
∴f(x)在x= lna/(2ln2)处取极小值
令lna/(2ln2)=0==>a=1
令a=1==> f(x)=2^x+2^(-x)
f(-x)=2^(-x)+2^x=f(x)
∴函数f(x)为偶函数时,a=1；
（3）解析：∵不等式1/2<=f(x)<=4在x∈[0,1]上恒成立
即当x∈[0,1]时,函数f(x)值域为[1/2,4]
由（2）知
当a<=0时f(x)在定义域内单调增；
f(0)=1+a,f(1)=2+a/2
令1+a>=1/2==>a>=-1/2
2+a/2<=4==>a<=4
∴a∈[-1/2,0]
当a>0时,f(x)在x= lna/(2ln2)处取极小值
由（2）知,当a∈(0,1]时,x= lna/(2ln2)<=0,
∴f(x)在[0,1]上单调增；此时f(x) ∈(1,5/2],满足题意；
当a>1时,x= lna/(2ln2)>0,f(x)在x= lna/(2ln2)处取极小值
∴f(x)在区间[0,1]上最大值为f(0),f(1)中较大者
令1+a-2-a/2>=0==>a/2>=1==>a>=2
∴当1
令1+a<=4==>a<=3
∴当a∈(1,3]时,f(x) ∈(2,4],满足题意；
综上,在x∈[0,1]上,f(x)值域为[1/2,4],a的取值范围为[-1/2,3]