作业帮设矩阵B的列向量线性无关,BA=C,证明矩阵C的列向量线性无关的充要条件是A的列向量线性无关.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 07:54:26
设矩阵B的列向量线性无关,BA=C,证明矩阵C的列向量线性无关的充要条件是A的列向量线性无关.
设矩阵B的列向量线性无关,BA=C,证明矩阵C的列向量线性无关的充要条件是A的列向量线性无关.
设矩阵B的列向量线性无关,BA=C,证明矩阵C的列向量线性无关的充要条件是A的列向量线性无关.
先证 CX=0 与 AX=0 同解.
一方面,显然AX=0的解是CX=BAX=0的解.
另一方面,设X1是CX=0的解,则CX1=0.
所以 (BA)X1=0
所以 B(AX1)=0
因为 B 列满秩,所以有 AX1=0.
即X1是AX=0的解.
因此有 r(C)=r(A).
因为A,C的列数相同,所以 C的列向量线性无关的充要条件是A的列向量线性无关.
可以方程思想来证明
，也可以用定义来证明
令B=(b1,b2,b3....bn)
充分性
若C=（c1,c2,c3,,,cn）线性无关则
BA=(b1,b2,b3....bn)（a1,a2,a3,,,an）^t=（c1,c2,c3,,,cn）
则C=（a1b1+a2b2+a...+anbn）线性无关，B列向量香型无关则
A的航向量线性无关
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可以方程思想来证明
，也可以用定义来证明
令B=(b1,b2,b3....bn)
充分性
若C=（c1,c2,c3,,,cn）线性无关则
BA=(b1,b2,b3....bn)（a1,a2,a3,,,an）^t=（c1,c2,c3,,,cn）
则C=（a1b1+a2b2+a...+anbn）线性无关，B列向量香型无关则
A的航向量线性无关
必要性
若A的行向量线性无关，
则存在a1,a2,a3,,,,,an不权威0且b1,,b2,,,,,bn不全为0使得
C=（a1b1+a2b2+a...+anbn）不为0
∴C的列向量线性无关
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设矩阵B的列向量线性无关,BA=C,证明矩阵C的列向量线性无关的充要条件是A的列向量线性无关.
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