作业帮f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线X=1对称,对任意的X1,X2属于【0,0.5】都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0(1)求f（0.5）及f（0.25）（2）证：f（x）是周期函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 23:39:53
f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线X=1对称,对任意的X1,X2属于【0,0.5】都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0(1)求f（0.5）及f（0.25）（2）证：f（x）是周期函数
f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线X=1对称,对任意的X1,X2属于【0,0.5】都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0
(1)求f（0.5）及f（0.25）
（2）证：f（x）是周期函数
f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线X=1对称,对任意的X1,X2属于【0,0.5】都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0(1)求f（0.5）及f（0.25）（2）证：f（x）是周期函数
1楼做的完全正确,但条理不太清晰,不易看懂
f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线X=1对称,对任意的X1,X2属于【0,0.5】都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0
(1)求f（0.5）及f（0.25）
(2)证：f（x）是周期函数
(1)解析：∵f(x)满足对任意的X1,X2∈[0,0.5],都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0
∴f(x)在区间[0,0.5]为指数函数f(x)=a^x,满足a^(x1+x2)=a^x1*a^x2
∴f(0.5)=a^(1/2),f(0.25)=a^1/4 (a>0)
(2)∵f(x)是定义在R上的偶函数,f(x)=f(-x),即f(0-x)=f(0+x),关于Y轴对称
又∵其图像关于直线X=1对称,∴满足f(1-x)=f(1+x),
∴同时满足关于Y轴对称,即f(x-1)=f(-(x-1))= f(1-x)
∴f(x-1)=f(x+1)
∴f((x+1)-1)=f((x+1)+1)==>f(x)=f(x+2)
∴f(x)是以2为周期的周期函数 .
首先说明一点，常数函数f(x)=1满足题目条件。f(x)不是常数函数时：
(1)令x1=x2=0.5, f(1)=f(0.5)*f(0.5)
再令x1=x2=0.25 f(0.5)=f(0,25)*f(0.25)=[f(0.25)]^2
可见f(0.5)是非负数，所以f(0.5)=√a ，同理 f(0.25)=a^1/4
(2)因为 f(x)是定义在R上的...
全部展开
首先说明一点，常数函数f(x)=1满足题目条件。f(x)不是常数函数时：
(1)令x1=x2=0.5, f(1)=f(0.5)*f(0.5)
再令x1=x2=0.25 f(0.5)=f(0,25)*f(0.25)=[f(0.25)]^2
可见f(0.5)是非负数，所以f(0.5)=√a ，同理 f(0.25)=a^1/4
(2)因为 f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)，于是f(1-x)=f(x-1)
又因为其图像关于直线X=1对称，所以f(1-x)=f(1+x)，所以f(x-1)=f(x+1)
即有f(x)=f(x+2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数
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