已知:a>0 ,b>0 ,a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b )2的最小值.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/08 19:18:49
已知:a>0 ,b>0 ,a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b )2的最小值.

已知:a>0 ,b>0 ,a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b )2的最小值.
已知:a>0 ,b>0 ,a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b )2的最小值.

已知:a>0 ,b>0 ,a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1b )2的最小值.
原式=2a+2a+2b+2b
=4a+4b
=4(a+b)
若a+b>1 则4(a+b)>4
现在还不睡、上网 你读个屁书啊!

(a+1/a)²+(b+1/b)²=a² + 1/a² +2 +b² +1/b² +2
=(a²+b²)+(1/a² +1/b²)+4
=(a²+b²)+(a²+b&su...

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(a+1/a)²+(b+1/b)²=a² + 1/a² +2 +b² +1/b² +2
=(a²+b²)+(1/a² +1/b²)+4
=(a²+b²)+(a²+b²)/a²b² +4
=(a²+b²)(1 + 1/a²b²) +4
又a+b=1
∴a²+b²≥2[(a+b)/2]²=1/2;
ab≤(a+b)²/4=1/4
∴1/ab≥4
∴1/a²b²≥16
∴(a²+b²)(1 + 1/a²b²) +4≥(1/2)(1+16)+4=25/2
当且仅当a=b=1/2时,不等式取等号;
∴原式的最小值为25/2;

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