作业帮已知函数f（x）=以4为底（4的x次幂+1)的对数—x/2若该函数与g（x）=以4为底（a2的x次幂—4a/3）的对数有且只有一个公共点,求实数a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 20:02:25
已知函数f（x）=以4为底（4的x次幂+1)的对数—x/2若该函数与g（x）=以4为底（a2的x次幂—4a/3）的对数有且只有一个公共点,求实数a的取值范围
已知函数f（x）=以4为底（4的x次幂+1)的对数—x/2
若该函数与g（x）=以4为底（a2的x次幂—4a/3）的对数有且只有一个公共点,求实数a的取值范围
已知函数f（x）=以4为底（4的x次幂+1)的对数—x/2若该函数与g（x）=以4为底（a2的x次幂—4a/3）的对数有且只有一个公共点,求实数a的取值范围
别相信百度的答案,这里需要很多讨论
令f(x)-g(x)=log4[(4^x+1)/a(2^x-4/3)]-1/2x=0 (a≠0)
即(4^x+1)/a(2^x-4/3)=2^x,令2^x=t(t>0)
设h(t)=4^x+1-a*2^x(2^x-4/3)=(1-a)t^2+4/3at+1 (t>0,a(t-4/3)>0,a≠0)
1' 若a=1,则h(t)=4/3t+1>0,不合题意
2' 若a≠1,a≠0,则可得Δ=16/9a^2-4(1-a)
1)当Δ=0时,解得a=3/4或a=-3
经检验,a=-3符合题意
2)Δ>0时,有a>3/4或a<-3,且a≠1
h(t)的对称轴为x=(2/3a)/(a-1)=2/3[1+1/(a-1)]
a.当a>1时,有t>4/3,h(t)开口向下
又h(4/3)=25/9>0,符合题意
b.当3/4
又2/3[1+1/(a-1)]∈(-∞,-2) 所以h(t)单调递增
因为h(t)>0,不合题意
c.当a<-3时,有0
故h(x)有零个或两个零点,不合题意
综上,a>1或a＝-3