证明矩阵相等矩阵A：要证明A^2=A,可否仅证明｜A^2｜=|A|

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 15:09:43

证明矩阵相等矩阵A：要证明A^2=A,可否仅证明｜A^2｜=|A|
证明矩阵相等
矩阵A：要证明A^2=A,可否仅证明｜A^2｜=|A|

证明矩阵相等矩阵A：要证明A^2=A,可否仅证明｜A^2｜=|A|
首先,A可平方,所以A一定是方阵.
如果A可逆,则两边同时乘以A逆得A为单位矩阵；
否则如果A不可逆,此时|A|=0,而|A^2|=|A|^2=0,
如果仅证明｜A^2｜=|A| ,可推出：所以不可逆的
矩阵都有A^2=A,而这显然是错误的.
例如：
A为主对角线为1,2,0；其余元素都是0的矩阵；|A|=0
此时A^2为主对角显然是1,4,0；其余元素都是0的矩阵
显然A^2!=A
希望对你有所帮助……

在一般情况下是不对的。。后者是前者的必要条件。。
矩阵相等的充要条件一定是各个元素对应相等。。
当然，对于有些特别的可以另外讨论。。
比如对上式作变形：A(A-I)=0,在A和A-I都满秩情况下可以推出A=0orA=I。。
如果可能，也可以求A特征值对角化，看看对角阵是否是I。。...

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在一般情况下是不对的。。后者是前者的必要条件。。
矩阵相等的充要条件一定是各个元素对应相等。。
当然，对于有些特别的可以另外讨论。。
比如对上式作变形：A(A-I)=0,在A和A-I都满秩情况下可以推出A=0orA=I。。
如果可能，也可以求A特征值对角化，看看对角阵是否是I。。

收起

不行
反例:A是奇异矩阵,那么｜A^2｜=|A| =0
但是A^2不一定是A,比如
A= 1 1 A^2= 2 2
1 1 2 2
那么｜A^2｜=|A| =0

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