证：(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n注意是≥((a+b)/2)^n 而不是>=[(a+b/2)]^k

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:00:18
证：(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n注意是≥((a+b)/2)^n 而不是>=[(a+b/2)]^k

证：(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n注意是≥((a+b)/2)^n 而不是>=[(a+b/2)]^k
证：(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n
注意是≥((a+b)/2)^n 而不是>=[(a+b/2)]^k

证：(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n注意是≥((a+b)/2)^n 而不是>=[(a+b/2)]^k
第一步,当n=1时,不等式显然成立.
第二步,假设n=k时,不等式成立.即有(a^k+b^k)/2>=[(a+b/2)]^k
那么,两边同时乘以（a+b/2),可得
（a+b/2)(a^k+b^k)/2>=（[(a+b/2)]^（k+1）
左边=[a^(k+1)+ab^k+a^kb/2+b^(k+1)/2]/2
>=[a^(k+1)+b^(k+1)]/2
即n=k+1时成立.
第三步,由一和二可知,n=1时成立,则n=2时成立,则n=3时成立……类推,对任意n不等式都成立.

其实有关自然数，而且感觉无法直接下手的题目，很多都可以用数学归纳法

用数学归纳法太保守了,应该多点想综合法,可以开阔思维.
先用减法证明对于任意a>0,b>0,0≤k≤n,
a^n+b^n≥a^k*b^(n-k)+a^(n-k)*b^k
然后2(a+b)^n=(a+b)^n+(b+a)^n=(a^n+b^n)+1Cn(a^(n-1)b+b^(n-1)a……+(b^n+a^n)≤(1+1Cn+2Cn+……+nCn)a^n+b^n=2^n(a^...

全部展开

用数学归纳法太保守了,应该多点想综合法,可以开阔思维.
先用减法证明对于任意a>0,b>0,0≤k≤n,
a^n+b^n≥a^k*b^(n-k)+a^(n-k)*b^k
然后2(a+b)^n=(a+b)^n+(b+a)^n=(a^n+b^n)+1Cn(a^(n-1)b+b^(n-1)a……+(b^n+a^n)≤(1+1Cn+2Cn+……+nCn)a^n+b^n=2^n(a^n+b^n)
既2(a+b)^n≤2^n(a^n+b^n)
最后化简一下就得到答案了.
(有不明的可以再问我)
难道我的答案还不够详细吗?

收起

(a^n+b^n)(a^2n-a^n*b^n+b^2n) (a-b)^n(b-a)^2n(a-b)^5 证：(a^n+b^n)/2≥((a+b)/2)^n注意是≥((a+b)/2)^n 而不是>=[(a+b/2)]^k 设a+b＞0a≠b,n∈N,n≥2,用数学归纳法证明（a+b/2)^n＜（a^n+b^n)/2 (a+b)^2n-1*(-a-b)^4+(a+b)^（n+1)*(a+b)^(n+2) 因式分解a^n+b^n因式分解 a^n+b^n (a＋b)^n — a^n 怎么等于n*a^(n-1)*b+n*(n-1)/2!*a^(n-2)*b^2+……+b^n 计算(a^n+b)(a^n-b) 已知a>0,b>0,n>1,n∈n*,用数学归纳法证明（a^n+b^n)/2≥[(a+b)/2]^n 已知a>0,b>0,n>1,n∈N*,用数学归纳法证明:(a^n+b^n)/2≥[(a+b)/2]^n lim n->无穷 (1+a+a^2+...+a^n)/(1+b+b^2+...+b^n)（|a| 计算 (3A^N+2*B-2A^N*B^N-1+3B^N)*5A^N*B^N+3(N为正整数,n＞1) [(a^2*a^n)^2(b^n*b)]^2计算 (a-b)(m-2n)+(b-a)(2m-n) (a-b)^n-(a-b)^n-2因式分解 利用等比数列求和公式证明：（a+b）(a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+.+b^n)=a^(n+1)-b^(n+1) “已知n为偶数”且n∈N+,a+b>0,求证b^(n-1)/a^n+a^n-1/b^n≥1/a+1/b (A+B)(M-2N)