作业帮一道与椭圆有关的问题,已知椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0）的离心率为根号3/2,过右焦点F且斜率为K（K>0）的直线与C交于AB两点,若AF=3FB,则K=?A.1 B.根号2 C.根号3 D.2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 23:29:35
一道与椭圆有关的问题,已知椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0）的离心率为根号3/2,过右焦点F且斜率为K（K>0）的直线与C交于AB两点,若AF=3FB,则K=?A.1 B.根号2 C.根号3 D.2
一道与椭圆有关的问题,
已知椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0）的离心率为根号3/2,过右焦点F且斜率为K（K>0）的直线与C交于AB两点,若AF=3FB,则K=?
A.1 B.根号2 C.根号3 D.2
一道与椭圆有关的问题,已知椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0）的离心率为根号3/2,过右焦点F且斜率为K（K>0）的直线与C交于AB两点,若AF=3FB,则K=?A.1 B.根号2 C.根号3 D.2
B.根号2
已知椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0）的离心率为根号3/2,设椭圆方程x^2/4+y^2=1
设直线方程为x=my+根号3 代入椭圆方程得
(m^2+4)y^2+2根号3y-1=0
若AF=3FB
所以|yA|=3|yB|
解方程(m^2+4)y^2+2根号3y-1=0
y=[-2根号3m±√(12m^2+4(m^2+4))] /[2(m^2+4)]
m>0 yA=[-2根号3m-√(12m^2+4(m^2+4))] /[2(m^2+4)]
yB=[-2根号3m+√(12m^2+4(m^2+4))] /[2(m^2+4)]
|yA|=3|yB|
|[-2根号3m-√(12m^2+4(m^2+4))] /[2(m^2+4)]|=3|[-2根号3m+√(12m^2+4(m^2+4))] /[2(m^2+4)]
2根号3m+√(12m^2+4(m^2+4))=3 √[12m^2+4(m^2+4))] -6根号3m
8根号3m=2√(16m^2+16) 64*3*m^2=64(m^2+1) 2m^2=1
m=根号2/2 k=1/m=根号2
因为c/a=√3/2，所以可设c=√3m,a=2m,进而算得b=m (m>0)
椭圆方程化简为x²/(4m²)+y²/m²=1，直线方程为y=k(x-√3m)，二式联立消y得
(4k²+1)x²-8√3mk²x+(12k²-4)m²=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=...
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因为c/a=√3/2，所以可设c=√3m,a=2m,进而算得b=m (m>0)
椭圆方程化简为x²/(4m²)+y²/m²=1，直线方程为y=k(x-√3m)，二式联立消y得
(4k²+1)x²-8√3mk²x+(12k²-4)m²=0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=k(x1-√3m)，y2=k(x2-√3m)，由韦达定理有
x1+x2=8√3mk²/(4k²+1)……………………①
x1x2=(12k²-4)m²/(4k²+1) ……………………②
AF=(√3m-x1，-y1)，FB=(x2-√3m，y2)，由AF=3FB得(√3m-x1，-y1)=3(x2-√3m，y2)，所以
√3m-x1=3(x2-√3m) ……………………③
①③联立解得x1=2√3m(2k²-1)/ (4k²+1)，x2=2√3m(2k²+1)/ (4k²+1)，代入②得
[2√3m(2k²-1)/ (4k²+1)][2√3m(2k²+1)/ (4k²+1)]= (12k²-4)m²/(4k²+1)
化简即得k²=2，因为k>0，所以k=√2
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