请教一道导数难题!设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x(-3,0)U(3,+∞）

请教一道导数难题!设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x(-3,0)U(3,+∞）
请教一道导数难题!
设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x
(-3,0)U(3,+∞）

请教一道导数难题!设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x(-3,0)U(3,+∞）
设h(x)=f(x)g(x)
h'(x)=[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
由已知：f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＜0
所以：h'(x)＜0
即：h(x)是单调减函数.
因为：f(3)=0
所以：h(3)=f(3)g(3)=0
当x＞3时,恒有h(x)＜0
即：不等式f(x)g(x)＜0的解集是x∈(3,+∞)
补充答案：
上述解题过程忽略了f(x)是奇函数了.先对上述解法进行更改：
设h(x)=f(x)g(x)
因为f(x)是奇函数,有f(-x)=-f(x)
因为g(x)是偶函数,有g(-x)=g(x)
h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x)
所以,h(x)是奇函数.
不难求出：h'(x)=[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
由已知：当x＜0时,有：f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＜0
所以：h'(x)＜0
即：当x＜0时,h(x)是单调减函数.
因为h(x)是奇函数,所以,当x＞0时,h(x)同样是奇函数.
由：f(3)=0
得：f(-3)=-f(3)=0
即：当x=-3时,有：h(-3)=f(-3)g(-3)=0
当x＞-3时,恒有h(x)＜0
即：不等式f(x)g(x)＜0的解集是x∈(-3,0)
因为：f(3)=0
所以：h(3)=f(3)g(3)=0
因为f(x)在x＞0时,是奇函数,
所以：当x＞3时,恒有h(x)＜0
即：不等式f(x)g(x)＜0的解集是x∈(3,+∞)
综合以上,有：不等式f(x)g(x)＜0的解集是x∈(-3,0)∪(3,+∞)

求导，你一下就能看出来了，

因为g(x)恒不为0，所以不等式f(x)g(x)<0的解集就是不等式 f(x)/g(x)<0的解集。因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以 f(x)/g(x) 是R上的奇函数。又因为x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，所以 [f(x)/g(x)]'=
[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2<0,也就是f(x)/g(x)在x<0上...

全部展开

因为g(x)恒不为0，所以不等式f(x)g(x)<0的解集就是不等式 f(x)/g(x)<0的解集。因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以 f(x)/g(x) 是R上的奇函数。又因为x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，所以 [f(x)/g(x)]'=
[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2<0,也就是f(x)/g(x)在x<0上单调递减，利用
f(x)/g(x)是奇函数知道它在x>0上也递减，f(3)=0,所以 f(3)/g(3)=0,进而x>0时，f(x)/g(x)<0的解集为 x>3,也就是 f(x)g(x)<0 的解集是 x>3.
当x<0时，利用f(x)是奇函数，f(-3)=-f(3)=0,且f(x)/g(x)在x<0时也单调递减就知道 当-3注意x等于0时不等式不成立就可以了。所以原不等式解集为 -33

收起

令h（x)=f(x)/g(x),h'(x)=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x),又g(x)恒不为0且当x<0时，f'(x)g(x)-f(x)g'(x)<0，h(x)为奇函数，单调递减函数，h(3)=f(3)/g(3)=0,所以原不等式解集为｛x\x>3}

e

f(x)g(x)<0
因g(x)不为0
则g(x)^2>0
则不等式变为
f(x)/g(x)<0,
对f(x)/g(x)求导，则有
(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2<0,
则f(x)/g(x)为一个单调递减函数
当x=3时，f(3)/g(3)=0
根据单调递减函数，
则有f(x)/g(x)<0时
x取值为（3，正无穷）